Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов

Степенным рядом назыв. функц. ряд вида: . Cn принадлеж. R. (3)

Если х0=0, то (4)

Ряд (4) всегда сход. по крайней мере в одной точке х=0

х-х0=у

Теорема Абеля:

Если ряд 4 сход. в некот. т. х1≠0, то он будит сход. при всех знач.-ях х принадлеж. R. |x|<|x1|. Если ряд 4 расход, в x2, то он будит расходящимся и при всех х принадлеж. R, |x|>|x2|.

Св-ва степенных рядов:

1. сума степен. ряда - есть ф-ия непрерыв. на любом отрезке, содержащимся внутри интервала сходимости

2. степен. ряд можно почленно интегрир. на любом отрезке, содерж. в интервале. Получ. ряд будит иметь такой же радиус сходимости как и исходный.

3. степен. ряд можно почленно дифф-ть любое число раз, радиус сход. его при это не изменится