Свойства неопределенного интеграла

1. (òf (х)d х)'= f(х)

2. d òf (х)d х)'=f(х) d х

3. ò d F(х)=F(х)+С

4. ò k f(х) d х = k òf(х) d х, k ¹0.

5. ò(f(х)±g(х)) d х = òf(х) d х ±òg(х))

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. ò0d х =С.

2. 2.ò х d х = х+ С.

3. 3. ò х^a d х = +С, a¹1.

4. òсоs х d х =sin х +С; 5. òsin х d х = –соs х +С;

6. ò =tg х +С; 7. ò =-сtg х +С;

8. ò = ; 8а. ò = ;

9. ò = ; 9а. ò = ;

10. òа ^х d х = а ^х /ln х +С; 10а. òе ^х d х = е ^х + С;

11. ò ln| х |+С;12. ò +С; 13 ò =ln| х+ |+ С

Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).

y=f(x) – [a; b], f(x)≥0

Найти S:

Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.

Эти точки xk – разбиение [a;b].

Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck

f(ck),k=0,…n-1

Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)

xk-xk-1=∆xk

(1)

Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших n имеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.

Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.

Если в (1) перейти к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач S криволин. трап: