![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Разложение функций в степенные ряды
Пусть функция бесконечно дифференцируема в
и является суммой степенного ряда:
![]() | (1) |
где –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция
разлагается в степенной ряд в окрестности точки
или по степеням
. Определим коэффициенты
этого ряда, для чего продифференцируем
раз ряд (1).
![]() | (1) |
Все ряды имеют интервалы сходимости . При
из полученных тождеств получаем:
,
,
,
, …,
, … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1):
,
,
,
, …,
, … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем
![]() | (2) |
Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции в точке
. В частном случае при
ряд (2) принимает вид:
![]() | (3) |
и называется рядом Маклорена.
Таким образом, если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции
.
Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке функция
. Составим для нее формально ряд Тейлора:
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 172 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!