Разложение функции в степенные ряды

Разложение функций в степенные ряды

Пусть функция бесконечно дифференцируема в и является суммой степенного ряда:

(1)

где –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням . Определим коэффициенты этого ряда, для чего продифференцируем раз ряд (1).

(1)

Все ряды имеют интервалы сходимости . При из полученных тождеств получаем: , , , , …, , … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): , , , , …, , … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем

(2)

Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции в точке . В частном случае при ряд (2) принимает вид:

(3)

и называется рядом Маклорена.

Таким образом, если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции .

Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке функция . Составим для нее формально ряд Тейлора: .