Достаточные признаки сходимости. Признаки Доламбера и Коши

33. Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то . Обратное утверждение неверно, то есть данное условие может выполняться, но ряд будет расходиться.
Достаточные признаки сходимости
1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами
; (2)
. (3)
Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых выполняется . Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).
2. Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами и существует . Тогда при ряд сходится, а при расходится, а при вопрос остается открытым.

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

[Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится.

Замечание. Если ρ = 1, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.