Доказательство. 1. Пусть l < 1. Очевидно, что существует такое , что l + ε < 1

1. Пусть l < 1. Очевидно, что существует такое , что l + ε < 1. Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное εполучим:

Раскрыв модуль, получаем:

(l − ε) n < an < (l + ε) n

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть l > 1. Очевидно, что существует такое , что l − ε > 1. Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное εполучим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.