Метод Гауса

Обчислювальні схеми, за допомогою яких може бути реалізований метод Гауса, різні. До найбільш характерних схем цього методу відносяться алгоритми зі зворотнім ходом та без зворотного.

Розглянемо алгоритми зі зворотнім ходом.

Запишемо систему чотирьох рівнянь з чотирма невідомими в наступному виді:

(1)

Послідовність операцій, які виконуються при прямому ході наступна:

На першому етапі у вихідній системі рівнянь перше рівняння діліться на a ₁₁. Далі x ₁ вилучається зі всіх подальших рівнянь множенням першого рівняння щоразу на a _і1 та відніманням з i -го рівняння (i =2,4). В результаті цих операцій отримуємо систему рівнянь:

(2)

де

; ; ; ;

Другий крок полягає у вилученні x₂ з рівнянь, отриманих не першому кроці системи шляхом виконання аналогічних операцій при використанні в якості провідного елемент a' ₂₂.

Третій крок і наступні виконуються аналогічно.

На четвертому кроці отримуємо наступну систему рівнянь:

(3)

На етапі зворотного ходу визначаються невідомі, які шукаємо в наступному порядку:

(4)

Розв’язання системи n -лінійних рівнянь по алгоритму методу Гауса без зворотного ходу здійснюється за один етап, в результаті якого матриця коефіцієнтів А за n однотипних кроків приводиться до одиничної. На основі цього алгоритму побудований метод обертання матриці.

Алгоритм методу Гауса зі зворотнім ходом є біль ефективним в обчислювальному відношенні і тому рекомендується користуватися ним.