Основные формулы. 1. Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой

1. Молярная внутренняя энергия химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой

U_m=3RT,

где R -молярная газовая постоянная; T - термодинамическая температура.

2. Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме определяется как производная от внутренней энергии U по температуре, т.е.

C = dU/dT.

3. Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость С_m химически простых твердых тел

С_m = 3R.

4. Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоемкость химически сложных тел (состоящих из различных атомов)

C_m = n×3R,

где n - общее число частиц в химической формуле соединения.

5. Среднее значение энергии áeñ квантового осциллятора, приходящейся на одну ступень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой

,

где e₀ - нулевая энергия - постоянная Планка; w - круговая частота колебаний осциллятора; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура.

6. Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле

,

где U_m0=3/2 Rq_E - молярная нулевая энергия по Эйнштейну; - характеристическая температура Эйнштейна.

7. Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна

.

При низких температурах (Т<<q_E)

C_m = 3R (q_E/T)exp(-q_E/T).

8. Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемкости Дебая задается функцией распределения частот g (w). Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от w до w+dw, определяется выражением

dZ = g (w) dv.

Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов,

,

где w _max -максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.

9. Энергия U твердого тела связана с средней энергией áeñ квантового осциллятора и функцией распределения частот g (w) соотношением

.

10. Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

,

где - молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; - характеристическая температура Дебая.

11. Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю

.

Предельный закон Дебая. В области низких температур (T<<q_D) последняя формула принимает вид

.

12. Энергия e фонона связана с круговой частотой w колебаний классической волны соотношением

.

13. Квазиимпульс фонона

.

14. Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле

u = de /dp.

При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадут:

u = v = e /p.

Скорости продольных (v_l) и поперечных (v_t) волн в кристалле определяются по формулам

,

где Е и G - модули соответственно продольной и поперечной упругости.

Усредненное значение скорости звука v связано с v_l и v_t соотношением

.

15. Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесенное через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока, за время dt, равно

,

где l - теплопроводность; dT/dx - градиент температуры. Знак минус в формуле показывает, что направление теплового потока противоположно вектору градиента температуры.

16. Теплопроводность l, теплоемкость С, рассчитанная на единицу объема, скорость v звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега фононов связаны соотношением

.

17. Относительное изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера,

(v<<c),

где v - скорость атома; с - скорость распространения электро-магнитного излучения; J - угол между вектором v и направлением наблюдения (от атома к наблюдателю).

18. Энергия отдачи ядра при испускании гамма-фонона

,

где - энергия гамма-фонона; m_я - масса ядра.

19. Естественная ширина спектральной линии

,

где t - среднее время жизни ядра(атома) в возбужденном состоянии.

20. Сила f (x), возвращающая частицу в положение равновесия при ангармонических колебаниях, определяется выражением

,

где b - коэффициент гармоничности, связанный с равновесным расстоянием r₀ между атомами кристалла и модулем продольной упругости Е соотношением

b = r₀E;

g -коэффициент ангармоничности, характеризующий ассиметрию колебаний атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величин можно принять

.

21. Коэффициент линейного расширения, по определению,

.

Теоретически он выражается через коэффициенты b и g формулой , или приближенно , где k - постоянная Больцмана.