Этапы и методика изучения темы

Для всех случаев внетабличного умножения и деления используются общие методические приемы, которые имеют коррекционно-развивающую направленность.

1. Проводится подготовка к введению новых вычислительных приемов. Она должна включать следующее:

- изучение (или повторение) теоретического материала, являющегося теоретической основой вычислительного приема;

- упражнения на отработку операций, входящих в данный прием, в том числе повторение ранее изученных способов вычислений.

Объем подготовительных упражнений должен быть достаточным. Он увеличивается по сравнению с обычным, применяемым в общеобразовательной школе для детей, развивающихся в норме.

2. На этапе ознакомления осуществляется открытие учащимися под руководством учителя способа действия (или ознакомление с ним по учебнику), т.е. выделение системы операций, входящих в вычислительный прием. Для этого можно использовать опору на предметные действия или наглядность (нумерационные модели).

3. Выполняется подробная запись решения примеров, отражающая последовательность производимых операций. В записях используются опорные сигналы (дуги, лучи и т.п.).

4. Для обобщения способа действия на каждом этапе составляется памятка-алгоритм. Она имеет большое значение для коррекции мышления и памяти учащихся, служит опорой для выполнения речевых действий и средством осуществления пошагового самоконтроля.

5. При решении примеров сначала дается подробное, потом краткое объяснение. Громкоречевой этап выполнения действия имеет коррекционно-развивающую направленность. Как и при изучении других тем, используются приемы объяснения вслух у доски или соседу по парте, комментирования с места, хорового проговаривания и т.п. Школьники могут выполнять речевые действия в опоре на индивидуальные карточки, на которых пишутся ключевые слова, используемые при комментировании.

6. При выработке навыков постепенно осуществляется переход к объяснению способа вычисления про себя с записью или проговариванием только ответа, а затем к свернутому выполнению операций в плане внутренней речи.

7. Проводится сопоставление новых и ранее изученных вычислительных приемов, выявление их сходства и различия. Это предотвращает уподобление приемов.

8. Происходит постепенная автоматизация навыков. Осуществляется включение новых случаев умножения и деления в задачи, уравнения и примеры, содержащие несколько действий.

9. Для решения предлагаются не только стандартные, но и творческие упражнения, а также разнообразные дидактические игры. Это способствует переходу к варьирующему этапу развития вычислительного навыка.

10. Осуществляется знакомство с приемами проверки умножения и деления на основе знания связи между компонентами и результатами действий умножения и деления. В обучении детей, имеющих проблемы в развитии, это имеет очень важное коррекционное значение, поскольку формирует у учащихся представление об обратных операциях, развивает операцию обратимости и связанную с ней гибкость мышления, способствует становлению навыков самоконтроля.

11. При организации работы по формированию вычислительных навыков реализуется индивидуальный и дифференцированный подход к учащимся в зависимости от того, на какой стадии находится навык у каждого из них.

Рассмотрим основные этапы и методику обучения внетабличному умножению и делению на каждом этапе.

1-й этап. Умножение и деление двузначных чисел, оканчивающихся нулем (разрядных чисел).

Умножение и деление разрядных двузначных чисел на однозначное число выполняется так:

20 · 3 =  3 · 20 =  60: 3 = 

2 дес.·3 = 6 дес. 20 · 3 = 60 6 дес.: 3 = 2 дес.

20 · 3 = 60 3 · 20 = 60 60: 3 = 20

Первый и третий приемы опираются на знание нумерации. Выполняя действия с двузначными разрядными числами, дети должны понять, что такие числа при вычислениях удобнее заменить более крупными единицами счета, т.е. в данном случае выполнить действия не над единицами, а над десятками. Таким образом, вычисления сводятся к выполнению действий с однозначными числами.

Подготовка к введению этих приемов включает повторение таблиц умножения и деления, а также выполнение нумерационных упражнений вида: "Сколько десятков составляют 20 единиц, 40 единиц, 70 единиц? Выразите в единицах числа 3 дес., 5 дес., 10 дес.".

Второй прием опирается на знание переместительного свойства умножения.

Новые вычислительные приемы учащиеся могут открыть сами. Для этого можно использовать предметные действия с пучками (десятками) палочек или иллюстрации в учебнике (пучки палочек нарисованы), а можно выполнять действия на умственном уровне без наглядной опоры.

Для лучшего понимания используются записи с опорными сигналами в виде дуги:

20 · 3 = 60 3 · 20 = 60 60: 3 = 20

Деление разрядных двузначных чисел на разрядные двузначные числа выполняется так:

80: 20 = 70: 10 =  60: 30 = 

20 · 4 = 80 10 · 7 = 70 30 · 2 = 60

80: 20 = 4 70: 10 = 7 60: 30 = 2

Теоретической основой приема служит знание связи между компонентами и результатом деления. Поэтому данный материал нужно включить в подготовку к ознакомлению с приемом. Например, это может быть заполнение таблицы с пропущенным делимым или решение нескольких примеров вида

ٱ: 7 = 9, : 8 = 10 с формулировкой вывода (если частное умножить на делитель, то получится делимое).

Следует подчеркнуть особенность новых примеров – делится двузначное число на двузначное, поэтому в ответе получается однозначное число. Это число можно найти способом подбора. Подбираем такое частное, чтобы, умножив его на делитель, получить делимое.

Иногда вместо подбора частного, опираясь на действия с пучками-десятками, предлагают другой прием: узнать, сколько раз в 8 десятках содержится по 2 десятка. Однако в дальнейшем этот прием приводит к трудно устранимым ошибкам: 6 дес: 3 дес. = 2 дес. = 20. Поэтому рекомендуется для подобных примеров использовать только способ подбора.

Для устранения интерференции навыков в дальнейшем полезно предлагать решать пары примеров с объяснением различий в способах действия:

80: 40 90: 30

80: 4 90: 3

При делении на однозначное число делим число десятков на делитель, а при делении на двузначное число узнаем, на какое число надо умножить делитель, чтобы получилось делимое.

2-й этап. Свойство умножения суммы на число. Умножение двузначного неразрядного числа на однозначное число и наоборот.

На данном этапе сначала изучается распределительное свойство умножения относительно сложения, которое в начальной школе называют правилом умножения суммы на число. Дети знакомятся с двумя способами умножения суммы на число.

1-й способ: (4 + 3) · 2 = 7 · 2 = 14

Можно вычислить сумму и умножить ее на число.

2-й способ: (4 + 3) · 2 = 4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14

Можно умножить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Данное свойство является теоретической основой приема умножения двузначного неразрядного числа на однозначное число вида 23 ·4.

Подготовкой к введению данного приема служат следующие виды заданий:

- решение примеров вида (5 + 4) · 3, (30 + 2) · 2 разными способами или удобным способом (повторение свойства умножения суммы на число);

- примеры на табличное умножение и внетабличное умножение вида 20 · 4;

- замена числа суммой разрядных слагаемых вида 24 =  + .

Открыть прием дети могут самостоятельно. Он включает следующие операции: 23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4 = 80 + 12 = 92

Если дети затрудняются в открытии способа действия, то можно предложить им объяснить новый прием в опоре на предметные действия с нумерационными моделями или на иллюстрацию и записи в учебнике.

Можно использовать и такой прием. Детям предлагается 2-3 выражения вида (30 + 6) · 2, (20 + 4) · 4, значение которых нужно найти удобным способом. Затем учитель спрашивает: "Какое число в виде суммы записано в скобках? Какой пример мы решили?" А затем он дописывает пример слева:

36 · 2 = (30 + 6) · 2 = 30 · 2 + 6 · 2 = 72

Аналогичная работа проводится и с другими выражениями. Форма записи может быть и такой:

12 · 3 = 36

12 = 10 + 3

10 · 3 = 30

2 · 3 = 6

30 + 6 = 36

При любой методике важно подвести учеников к обобщению способа вычисления. Он может быть представлен в виде памятки-алгоритма:

§ заменю двузначное число суммой разрядных слагаемых;

§ умножу первое слагаемое (десятки) на число;

§ умножу второе слагаемое (единицы) на число;

§ результаты сложу;

§ читаю ответ.

Прием 3 · 24 основан на переместительном свойстве сложения и сводится к приему 23 · 4.

На этапе закрепления дети должны решить несколько примеров с подробным объяснением. Для этого можно использовать опорные слова:

заменю…

получилось выражение…

вычисляю (или удобнее)…

Например, 25 · 3. Заменю 25 суммой чисел 20 и 5. Получилось выражение: сумму чисел 20 и 5 умножить на 3. Вычисляю: 20 умножаю на 3, получится 60; 5 умножаю на 3, получится 15. К 60 прибавляю 15, получится 75.

Полезно применять и индивидуальные карточки-опоры, помогающие выполнять речевые действия:

Заменю  суммой чисел  и . Получилось выражение: сумму чисел  и  умножить на . Вычисляю. Умножаю десятки:  умножить на , получится . Умножаю единицы:  умножить на , получится . Прибавляю: к  прибавить , получится . Читаю ответ: .

Некоторые учителя считают такое объяснение и соответствующую запись громоздкими и заменяют их сразу же более кратким пояснением и краткой записью: сначала умножаем десятки, затем умножаем единицы и результаты складываем. Но при таком пояснении ученики не узнают изученного свойства, оно не проговаривается, поэтому, усвоив прием, ученик может объяснить, как умножить двузначное число на однозначное, но не осознает, почему так можно умножать.

На последующих уроках дети переходят от подробного объяснения примеров к более краткому. На этом этапе целесообразно использовать другую форму записи:

37 · 2 = 60 + 14 = 74

30 7

Затем решение примеров выполняется без проговаривания вслух способа вычисления.

3-й этап. Свойство деления суммы на число. Деление двузначного неразрядного числа на однозначное число.

На данном этапе сначала изучается распределительное свойство деления относительно сложения (деление суммы на число). Дети знакомятся с двумя способами деления суммы на число.

1-й способ: (6 + 4): 2 = 10: 2 + 5

Можно вычислить сумму и разделить ее на число.

2-й способ: (6 + 4): 2 = 6: 2 + 4: 2 = 5

Можно разделить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Данное свойство является теоретической основой приема деления двузначного неразрядного числа на однозначное число вида 48: 2.

Подготовкой к введению данного приема служат следующие виды заданий:

- выделение круглых чисел до 100, которые ученики уже умеют делить на 2 (10, 20, 40, 60, 80), на 3 (30, 60, 90) и т.д.;

- представление двузначного числа в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число без остатка, например 42 нужно представить в виде двух чисел, каждое из которых делится на 3, и выбрать самый удобный из вариантов:

42: 3 = (30 + 12): 3

42: 3 = (27 + 15): 3

42: 3 = (24 + 18): 3

42: 3 = (36 + 6): 3;

- решение примеров вида (60 + 9): 3, (30 + 12): 2 удобным способом (повторение свойства деления суммы на число);

, - примеры на табличное деление и внетабличное деление вида 60: 2;

- замена числа суммой разрядных слагаемых вида 24 =  + .

При знакомстве с приемом деления двузначного числа на однозначное встречаются три основных случая деления, которые должны быть рассмотрены:

46: 2 = (40 + 6): 2 = 40: 2 + 6: 2 = 20 + 3 = 23 (двузначное число заменяется суммой разрядных слагаемых);

38: 2 = (20 + 18): 2 = 20: 2 + 18: 2 = 10 + 9 = 19 (двузначное число заменяется суммой удобных слагаемых, одно из которых разрядное, а другое – нет);

90: 5 = (50 + 40): 5 = 50: 5 + 40: 5 = 10 + 8 = 18 (двузначное число заменяется суммой удобных слагаемых, каждое из которых является разрядным).

Первый прием дети могут открыть сами по аналогии с приемом умножения, изученным ранее.

А предложенные далее случаи деления обычно приводят к созданию проблемной ситуации и открытию нового обобщенного способа действия, который оформляется в виде памятки-алгоритма:

§ заменю двузначное число суммой удобных слагаемых, каждое из которых делится на однозначное число;

§ разделю первое слагаемое на число;

§ разделю второе слагаемое на число;

§ результаты сложу;

§ читаю ответ.

Особое внимание нужно уделить подбору удобных слагаемых. Дети должны заметить, что одно из слагаемых должно быть круглое число (делим на 3 – это будет 30, делим на 5 – будет 50 и т.д.), а второе слагаемое должно быть основой для табличного деления.

Встречаются и более трудные случаи подбора удобных слагаемых, например 96: 4. Дети часто предлагают вариант 96: 4 = (40 + 56): 4, не замечая, что случай 56: 4 не является табличным. Поэтому нужно рассмотреть более рациональный вариант 96: 4 = (80 + 16): 4. Здесь нужно выделить наибольшее число десятков, которое делится на делитель.

Приемы дальнейшей работы над вычислительными приемами такие же, как и на предыдущем (втором) этапе.

Н.Б. Истомина [20] предлагает использовать различные творческие упражнения на закрепление данного материала, например:

- на какие группы можно разбить все выражения:

64: 8 36: 2 48: 8

48: 4 48: 3 36: 9

36: 3 64: 2 64: 4;

- можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

(40 + 8): 2 48: 3 (20 + 28): 2

(30 + 16): 2 (21 + 27): 3 48: 2.

4-й этап. Деление двузначного неразрядного числа на двузначное неразрядное число.

Прием основан на знании связи между компонентами и результатом деления. По аналогии со случаем 80: 20 здесь используется способ подбора. Поэтому на этапе подготовки нужно повторить прием деления разрядных чисел.

Подбор начинается с числа 2. Умножив делитель на частное, получают число, которое нужно сравнить с делимым: если они не равны, подбор продолжают, если равны, значит, частное найдено.

87: 29 = 

Пробуем в частном 2 и проверяем: 29 · 2 = 58, 58 < 87, число 2 не подходит.

Пробуем в частном 3 и проверяем: 29 · 3 = 87, 87 = 87, значит 87: 29 = 3

Полезно сравнить новый прием с ранее изученным:

75: 3 96: 6

75: 15 96: 24

Следует показать учащимся некоторые приемы подбора частного. Сначала дети находят частное медленно, берут числа по порядку: 2, 3, 4 и т.д. Постепенно число проб будет сокращаться. Для этого нужно учить школьников наблюдательности.

Например, 77: 11. Нет необходимости перебирать много чисел, достаточно внимательно посмотреть на делимое и делитель и будет ясно, что в частном получится 7.

90: 15 = . Пробуем в частном 2 и проверяем: 15 · 2 = 30. Сравним 30 и 90. Если 2 раза взять по 15, то получится 30, а нужно 90. Сколько же раз нужно взять по 15? 2 раза, еще 2 раза и еще 2 раза, т.е. всего 6 раз.

Учащимся при подборе частного может помочь и хорошее знание рядов чисел, получаемых при табличном умножении, а также приблизительная прикидка того, какое число стоит попробовать в качестве частного.

Например, 9 5: 1 9

На какое число нужно умножить 9, чтобы ответ заканчивался на 5? Сразу вспоминается случай 9 · 5 = 45. Пробуем в частном 5.

Можно воспользоваться и приемом округления.

87: 29= 

87 – это почти 90, 29 – это почти 30, 90: 30 = 3. Пробуем 3.

В данном разделе программы изучается связь между компонентами и результатом действия деления, а также темы "Проверка деления" и "Проверка умножения". Эти темы не относятся к внетабличному умножению и делению, но тесно связаны с ним.

При изучении раздела "Арифметические действия в пределах тысячи" дети знакомятся с устными приемами умножения и деления трехзначных чисел, в основе которых лежит умение выполнять внетабличное умножение и деление [36, с. 68 - 72]:

1) 180 · 4 = 720 потому, что 18 дес. · 4 = 72 дес.

900: 3 = 300 потому, что 9 сот.: 3 = 3 сот.

Умножение и деление трехзначных чисел, которые оканчиваются нулями, легко заменить действиями с сотнями и десятками.

2) 240 · 3 = (200 + 40) · 3 = 200 · 3 + 40 · 3 = 

203 · 4 = (200 + 3) · 4 = 200 · 4 + 3 · 4 = 

960: 3 = (900 + 60): 3 = 900: 3 + 60: 3 = 

960: 6 = (600 + 360): 3 = 600: 3 + 360: 3 = 

В основе данных приемов лежат свойства умножения и деления суммы на число.

3) 800: 200.

Используется способ подбора частного.

ТЕМА 7