Тема 2. Элементы теории множеств. Отношения и отображения

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Тема 1. Основы математической логики.

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Доказать логические законы, используя таблицы истинности, и дать примеры их содержательной интерпретации

а) ; б) (X Þ Y) Û `X Ú Y;

в) X Ú (Y Ù Z)Û (X Ú Y) Ù (X Ú Z);

На дом

а) ; б) ;

в) X Ù (Y Ú Z)Û (X Ù Y) Ú (X Ù Z).

3. Пусть Р означает: «число a делится на число b», Q означает: «число a делится на число c» и R означает: «число a делится на произведение чисел b и с». Сформулировать предложения, записанные в виде формул

а) PÙQ; б) PÙQÞR;

На дом

а) ; б)

4. Пусть R и D означают соответственно высказывания: «данный четырехугольник есть ромб» и «диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны». Записать в символической форме следующие высказывания и определить, если возможно, их значение

а) Если данный четырехугольник есть ромб, то диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны;

б) Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то данный четырехугольник есть ромб.

На дом

а) Четырехугольник не ромб, или диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

5. Дано множество M={a, b}. Предикат P(x, y), где x и y Î M, задан следующей таблицей

x	y	P(x, y)
a	a
a	b
b	a
b	b

Определить значение истинности следующих высказываний и дать пример их содержательной интерпретации.

а)$ xP(x, a) б)" y P(a, y) в)$ x " yP(x, y).

На дом

а) $ yP(a, y) б)" xP(x, a) в) " x $ yP(x, y).

6. Записать в форме высказываний, введя необходимые обозначения предикатов, следующие предложения:

а)Все москвичи в данной группе учатся на «хорошо» и «отлично».

б)В данной группе нет слушателей старше 30 лет.

в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор общности).

На дом

а)Все слушатели в данной группе – москвичи или из Подмосковья.

б)Некоторые москвичи – слушатели данной группы.

в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор существования).

7. Пусть R(x) и D(x) – предикаты, определенные на множестве четырехугольников, означающие соответственно: «данный четырехугольник х есть ромб» и «диагонали четырехугольника х взаимно перпендикулярны». Записать в символической форме следующие высказывания

а) Если четырехугольник есть ромб, то диагонали этого четырехугольника взаимно перпендикулярны;

б) Любой четырехугольник – не ромб, или его диагонали взаимно перпендикулярны.

На дом

Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник есть ромб.

ПО ВАШЕМУ УСМОТРЕНИЮ:

8. Пусть S(x, y, z) ‑ предикат сложения (z является суммой x и y), рассматриваемый на множестве Z всех целых чисел и на множестве N₀ = N {0} целых неотрицательных чисел. Какова содержательная интерпретация следующих формул и на каком множестве (Z или N₀) они истинны?

а)" y $ x S(x, y, 0) б)" z " x $ y S(x, y, z).

На дом

а)$ y " x S(x, y, x) б) $ x $ y S(x, y, -12)

Тема 2. Элементы теории множеств. Отношения и отображения.

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Даны множества: I = { 1, 2, 3, 4, 5 }, X= { 1, 5 }, Y= { 1, 2, 4 }, Z= { 2, 5 }. Найти следующие множества и начертить диаграммы Венна, иллюстрирующие их построение,

а) б)

На дом

а) б)

3. Доказать с помощью диаграмм Венна следующие тождества

а)

На дом

а) .

4. Выписать все элементы отношений r =<X, R> и r^-1 и представить их в виде координатных диаграмм, если

X= { 1, 3, 5 }, R = { <x, y>: x £ y },

На дом

X= { 2, 4, 16, 22 }, R = { <x, y>: x являетсяделителем y },

5. Нарисовать графы отношений.

X= { 1, 3, 5 }, R = { <x, y>: x £ y },

На дом

X= { 2, 4, 16, 22 }, R = { <x, y>: x являетсяделителем y }.

6. Исследовать свойства отношений, приведенных в п. 2, (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность, иррефлексив­ность, асимметричность, сравнимость). Определить, являются ли эти отношения а) отношением эквивалентности; б) отношением строгого порядка; в) отношением нестрогого порядка; г) отношением линейного порядка.

7. Пусть X = Y = R,где R- множество действительных чисел, а отображение j: X ® Y задается указанным ниже законом. Нарисовать график отображения и охарактеризовать отображение (всюду определенность, функциональность, отображение “на”, взаимная однозначность).

а) y = | x |, б) | y | = | x |

На дом

а) x = y² ; б) y = tg x.