Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция z=f (x; y) определена в некоторой окрестности точки M ₀(x ₀; y ₀).

Определение. Говорят, что функция z=f (x; y) имеет в точке M ₀(x ₀; y ₀) локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M ₀, в которой для любой точки M (x; y) выполняется неравенство

.

Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. Из определения следует, что если функция z=f (x; y) имеет экстремум в точке M ₀, то полное приращение Δ z = f (M)- f (M ₀) этой функции в точке M ₀ удовлетворяет в некоторой окрестности этой точки одному из следующих неравенств

в случае локального максимума

в случае локального минимума.

И обратно, если в некоторой окрестности точки M ₀ выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке M _0.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция f (x; y) имеет в точке M ₀(x ₀; y ₀) локальный экстремум и имеет в точке M ₀ частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, то есть

Как и в случае функции одной переменной условие равенства нулю не достаточно для наличия экстремума в данной точке.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в точке M ₀(x ₀; y ₀) возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция f (x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим

Тогда:

а) если Δ>0, то в точке M ₀ функция имеет экстремум, причем при - локальный максимум, при - локальный минимум.

Б) если Δ<0, то в точке M ₀ экстремума нет.