![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция z=f (x; y) определена в некоторой окрестности точки M 0(x 0; y 0).
Определение. Говорят, что функция z=f (x; y) имеет в точке M 0(x 0; y 0) локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M 0, в которой для любой точки M (x; y) выполняется неравенство
.
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. Из определения следует, что если функция z=f (x; y) имеет экстремум в точке M 0, то полное приращение Δ z = f (M)- f (M 0) этой функции в точке M 0 удовлетворяет в некоторой окрестности этой точки одному из следующих неравенств
в случае локального максимума
в случае локального минимума.
И обратно, если в некоторой окрестности точки M 0 выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке M 0.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция f (x; y) имеет в точке M 0(x 0; y 0) локальный экстремум и имеет в точке M 0 частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, то есть
Как и в случае функции одной переменной условие равенства нулю не достаточно для наличия экстремума в данной точке.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть в точке M 0(x 0; y 0) возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция f (x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим
Тогда:
а) если Δ>0, то в точке M 0 функция имеет экстремум, причем при - локальный максимум, при
- локальный минимум.
Б) если Δ<0, то в точке M 0 экстремума нет.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 176 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!