Функций нескольких переменных

Пусть функция z=f (M)определена в некоторой окрестности точки М (x; у).Придадим переменной x в точке М произвольное приращение Δ x, оставляя значение переменной y неизменным, т. Е. перейдем на плоскости от точки М (x; у)к точке M₁ (x+ Δ x; у). При этом Δ x таково, что точка M₁ лежит в указанной окрестности точки М. Тогда соответствующее приращение функции

Δ _xz = f (x+ Δ x; у)- f (x; у)

называется частным приращением функции по переменной x в точке М (х; у). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y

Δ _yz = f (x; у+ Δ y)- f (x; у).

Определение 1. Если существует предел

то он называется частной производной функции z=f (M) в точке М по переменной x (по переменной y) и обозначается одним из следующих символов:

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

Определение 2. Полным приращением функции z=f (M) в точке М (x; y), соответствующим приращениям Δ x и Δ y переменных x и y, называется функция

Δ z = f (x+ Δ x; у+ Δ y)- f (x; у).

Определение 3. Функция z=f (M) называется дифференцируемой в точке M, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где A и B – некоторые не зависящие от Δ x и Δ y числа, а α (Δ x; Δ y)и β (Δ x; Δ y) – бесконечно малые при Δ x →0, Δ y →0 функции.

Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.

Теорема 1. Если функция z=f (M) дифференцируема в точке M, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2. Если функция z=f (M) дифференцируема в точке M (x; y), то она имеет в этой точке частные производные и , причем

,

Однако в отличие от функции одной переменной, существования частных производных не достаточно для дифференцируемости функции.

Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z=f (M) имеет частные производные в некоторой δ- окрестности точки M и эти производные непрерывны в самой точке M, то функция дифференцируема в точке M.

Далее можно определить частные производные высших порядков. Так производные от производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они определяются следующим образом

.

Частные производные вида называются смешанными частными производными. Возникает естественный вопрос о равенстве смешанных частных производных, однако это возможно при выполнении некоторых условий.

Теорема 4. Если производные существуют в некоторой δ- окрестности точки M (x; y) и непрерывны в самой точке M, то они равны между собой в этой точке, то есть имеет место равенство

По аналогии определяются дифференциалы высших порядков, так дифференциал второго порядка представляет из себя дифференциал от дифференциала первого порядка. Функции, у которых существуют дифференциалы до n-го порядка включительно, называются n раз дифференцируемые. Используя данные понятия можно сформулировать многомерный аналог теоремы Тейлора.

Теорема 5 (Тейлора). Пусть функция z=f (x; y) непрерывна вместе со всеми частными производными до (n+1) -го порядка включительно в некоторой δ -окрестности точки M (x; y). Пусть точка M₁ (x+Δx; у+Δy) принадлежит этой окрестности. Тогда приращение Δf=f (M₁)- f (M) этой функции в точке M можно представить в следующей форме

.