Предел и непрерывность функции многих переменных

До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, то есть функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, определяется значениями двух переменных x и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, у, z – значениями трех переменных x, y и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.

Эта часть курса посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. Здесь мы подробно остановимся на функции двух переменных, при этом стоит заметить, что обобщение определений и результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.

Определение 1. Пусть X, Y и Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x; у; z) таких, что xX, уУ, zZ и каждая Упорядоченная пара чисел (x; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (x; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f (x; у). Число z н азы вается значением функции f в точке (x; у). Переменную z называют, зависимой переменной, а переменные x и у – независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} – областью определения функции, а множество z – множеством значений функции.

Функцию двух переменных обозначают следующими символами z=z(x; у), z=f (x; у) и так далее.

Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.

Рассмотрим понятие предела функции двух переменных, с этой целью введем понятия δ-окрестности данной точки M ₀(х ₀; y ₀) и сходящейся последовательности точек плоскости.

Определение 2. Множество {М(x; у)} всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству (x – x ₀)² + (y – y ₀)²< δ², или, короче, ρ(М; М ₀)<δ, называется δ – окрестностью М ₀ (x ₀; y ₀).

Рассмотрим последовательность точек М ₁ (x ₁; y ₁), М ₂ (x ₂; y ₂), …, М_n (x_n; y_n), … Будем кратко обозначать эту последовательность символом { М_n }.

Определение 3. Последовательность точек { М_n } называется сходящейся к точке М ₀, если для любого ε>0 существует номер N ₀ такой, что при п>N ₀ выполняется неравенство ρ(М; М ₀)<δ. При этом точка М₀ называется пределом последовательности { М_n } и обозначается или при .

Определение 4. Число A называется пределом функции z=f(M) точке М ₀, если для любой сходящейся к М ₀ последовательности точек М_n последовательность значений функции f (М ₁), f (М ₂), …, f (М_n), … сходится к A.

Стоит отметить, что и как в случае функции одной переменной, для предела функции многих переменных многие свойства сохраняются.

Теорема 1. Пусть функции f (М) и g (М) определены на одном и том же множестве { M } и имеют в точке М ₀ пределы B и C. Тогда функции и (С≠ 0) имеют в точке М ₀ пределы, равные соответственно и

Понятие непрерывности функции многих переменных вводится на основе понятия предела. Пусть на некотором множестве { М }определена функция f (М), точка М ₀ó{ М } и любая δ-окрестность точки М ₀содержит точки множества { М }.

Определение 5. Функция z=f (М) называется непрерывной в точке М ₀, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. Е.

или

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

На некотором классе множеств непрерывные функции обладают такими же свойствами что непрерывные функции одной переменной на отрезке, а именно справедливы многомерные аналоги теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса:

1. Если функция z=f (М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области.

2. Если функция z=f (М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3. Если функция z=f (М) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми своими значениями.