![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, то есть функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, определяется значениями двух переменных x и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, у, z – значениями трех переменных x, y и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.
Эта часть курса посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. Здесь мы подробно остановимся на функции двух переменных, при этом стоит заметить, что обобщение определений и результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.
Определение 1. Пусть X, Y и Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x; у; z) таких, что xX, уУ, zZ и каждая Упорядоченная пара чисел (x; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (x; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f (x; у). Число z н азы вается значением функции f в точке (x; у). Переменную z называют, зависимой переменной, а переменные x и у – независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} – областью определения функции, а множество z – множеством значений функции.
Функцию двух переменных обозначают следующими символами z=z(x; у), z=f (x; у) и так далее.
Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.
Рассмотрим понятие предела функции двух переменных, с этой целью введем понятия δ-окрестности данной точки M 0(х 0; y 0) и сходящейся последовательности точек плоскости.
Определение 2. Множество {М(x; у)} всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству (x – x 0)2 + (y – y 0)2< δ2, или, короче, ρ(М; М 0)<δ, называется δ – окрестностью М 0 (x 0; y 0).
Рассмотрим последовательность точек М 1 (x 1; y 1), М 2 (x 2; y 2), …, Мn (xn; yn), … Будем кратко обозначать эту последовательность символом { Мn }.
Определение 3. Последовательность точек { Мn } называется сходящейся к точке М 0, если для любого ε>0 существует номер N 0 такой, что при п>N 0 выполняется неравенство ρ(М; М 0)<δ. При этом точка М0 называется пределом последовательности { Мn } и обозначается или
при
.
Определение 4. Число A называется пределом функции z=f(M) точке М 0, если для любой сходящейся к М 0 последовательности точек Мn последовательность значений функции f (М 1), f (М 2), …, f (Мn), … сходится к A.
Стоит отметить, что и как в случае функции одной переменной, для предела функции многих переменных многие свойства сохраняются.
Теорема 1. Пусть функции f (М) и g (М) определены на одном и том же множестве { M } и имеют в точке М 0 пределы B и C. Тогда функции
и
(С≠ 0) имеют в точке М 0 пределы, равные соответственно
и
Понятие непрерывности функции многих переменных вводится на основе понятия предела. Пусть на некотором множестве { М }определена функция f (М), точка М 0ó{ М } и любая δ-окрестность точки М 0содержит точки множества { М }.
Определение 5. Функция z=f (М) называется непрерывной в точке М 0, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. Е.
или
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
На некотором классе множеств непрерывные функции обладают такими же свойствами что непрерывные функции одной переменной на отрезке, а именно справедливы многомерные аналоги теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса:
1. Если функция z=f (М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области.
2. Если функция z=f (М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.
3. Если функция z=f (М) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми своими значениями.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 231 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!