Решение. а) «Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике;

а) «Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике;

б) «Если студент Иванов изучает английский язык, то он успева­ет по математической логике;

в) «Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тог­да, когда он не изучает английский язык».

Обозначив простые высказывания буквами (переменными) и используя логические операции, можно записать любое высказывание в виде логического выражения.

Например, пусть система сигнализации должна дать аварийный сигнал, если вышли из строя два из трех двигателей самолета. Обозначим высказывания:

А — "Первый двигатель вышел из строя".

В — "Второй двигатель вышел из строя".

С — 'Третий двигатель вышел из строя".

X — "Аварийная ситуация".

Тогда логическое высказывание X можно записать в виде формулы

Х = (А*В) + (А*С) + (В*С).(*)

Таким образом, мы выполнили формализацию.

Формализация — это переход от конкретного содержания к формальной записи с помощью некоторого языка.

В логических выражениях операции выполняются в следующем порядке:

1) действия в скобках;

2) отрицание ("НЕ");

3) логическое умножение ("И");

4) логическое сложение ("ИЛИ") и "исключающее ИЛИ";

5) импликация;

6) эквивалентность.

Такой порядок означает, что все скобки в выражении (*) для X можно убрать. Порядок вычисления выражения можно, так же, как и для ариф­метических выражений, определить с помощью дерева (см. рисунок). Вы­числение начинается с листьев, корень — это самая последняя операция.

Здесь каждая операция выполняется с двумя значениями. такие операции называются бинарными (от лат. Us — дважды), или двуместными.

Операции, которые выполняются над одной величиной, называют унарными (от лат. ипо — один), или одноместными. Пример унарной логической операции — это отрицание (операция "НЕ").

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Алгоритм формализации высказываний:

1. Если высказывание - простое, то эму ставится в соответствие элементарная формула.

2. Если высказывание - составное, то для составления формулы требуется:

a) Выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное высказывание;

b) Заменить их соответствующими символами;

c) Расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.

Пример: Формализовать данное высказывание:

a) «Неверно, что число 500 делится на 3 или на 13»;

b) «|a|≤2 тогда и только тогда, когда -2≤а≤2».

Решение:

a) Обозначим простые высказывания: Х - «число 500 делится на 3», Y – «число 500 делится на 13». Тогда данное составное высказывание имеет вид (X v Y),

b) Обозначим простые высказывания: Х - «|a|≤2», Y – «-2≤а», Z – «а≤2». Тогда данное высказывание имеет вид X ↔(Y&Z).

Задание № 1. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Санкт-Петербург расположен на Неве и 2 + 3 = 5;

б) 7 — простое число и 9 — простое число;

в) 7 — простое число или 9 — простое число;

г) Число 2 четное или это число простое;

д) 2 < 3, 2 > 3, 2 • 2 < 4, 2 • 2 > 4;

е) 2-2 = 4 или белые медведи живут в Африке;

ж) 2-2 = 4, и 2-2<5, и 2-2>4;

з) 2 — рациональное число или -5 — иррациональное число;

и) Фобос и Луна — спутники Марса;

к) У равнобедренного треугольника либо два, либо три угла равны между собой;

л) 3-3 = 9и 4 + 7=11.

Решение. Оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание.

Задание № 2. Используя связку «если…, то…», измените высказывания.

Например: «Человек, любящий животных, - добрый. → Если человек любит животных, то он добрый».

1.Кончил дело – гуляй смело.

2.Знакомая дорога – самая короткая.

3.Тише едешь – дальше будешь.

4.Переходи улицу только на зеленый свет.

Задание № 3. Запишите в виде логической формулы следующие высказывания (формализовать):

1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.
2. Если число делится на 4, оно делится на 2.
3. Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на три.
4. Число 17 нечетное и двузначное.
5. Неверно, что корова - хищное животное.
6. На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований учителю

Задание № 4. Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

1. Число 456 трехзначное и четное.
2. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
3. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
4. Луна – спутник Земли.
5. На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь.
6. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
7. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.
8. Если у меня будет свободное время и не будет дождя, тоя не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку.
9. Без Вас хочу сказать Вам много
   При Вас я слушать Вас хочу.
10. Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.