Упражнения. 285. Элементами множества являются группы черточек {I, II, III, IIII,}

285. Элементами множества являются группы черточек {I, II, III, IIII,...}. Удовлетворяет ли это множество аксиомам Пеано? Как определено здесь отношение «непосредственно следовать за». Рассмотрите эти же вопросы для множества {0, 00, 000, 0000,...}.

a) б)

в) г)

Рис. 17

286. На рисунке 17 а) каждый элемент соединен стрелкой со следую­щим за ним элементом. Можно ли считать множество моделью системы аксиом Пеано? Те же вопросы для множеств на рисунках 17 б), в), г).

287. Удовлетворяет ли аксиомам Пеано множество чисел {1, 2, 3 п,...}, если отношение следования задано в нем так:

1® 3 ® 5® 7®….

2 ® 4 ® 6® 8®….

288. Приведите примеры заданий из учебников математики для начальных классов, в которых правильность выполнения заданий объясняется аксиомами Пеано.

2. СЛОЖЕНИЕ ИУМНОЖЕНИЕ. ОТНОШЕНИЕ «МЕНЬШЕ» «БОЛЬШЕ»

___________________________________________________________________

Определение 3. Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чи­сел а и b ставит в соответствие число вида (а + b) и обладает свойствами:

1.("а ÎN)а + 1 = а';

2. ("а, b ÎN) а + b' = (а + b) '.

_____________________________________________________________________________________________

Свойства операции сложения 1 и 2 – это аксиомы и обозначим их А₅ и А₆. Символически это определение можно записать так:

<N, +>, ("а, b ÎN)(а, b) ® а + b,

А_5. ("а ÎN) а + 1= а'

А₆. ("а, b ÎN)(а + b') = (а + b ) '.

Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b – слагаемыми.

Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и определено однозначно.

Известную всем таблицу сложения однозначных чисел можно вывести, пользуясь определением сложения и теоремой о существованиииединственности сложения.

Условимся о следующих обозначениях:

1' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' = 5; 5' = 6; 6' = 7; 7' = 8; 8' = 9; 9' = 10.

Таблица:

1) прибавление числа 1:

1 + 1 1' = 2;

2 + 1 2' = 3;

…

9 + 1 9' = 10.

2) прибавление числа 2:

1 + 2 = 1 + 1' (1 + 1)' 2' = 3.

2 + 2 = 2+1' (2+1)' 3' = 4.

…

8 + 2 = 8+1' (8 + 1)' 9'= 10.

Если продолжать этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.

___________________________________________________________________

Определение 4. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чисел а и b ставит в соответствие число вида а × b и обладает свойствами:

1. ("а ÎN) а × 1= а;

2. ("а, b ÎN) а × b' = аb +a.

______________________________________________________________________________________________

Число а × b называется произведением чисел а и b, асами числа а и b – множителями.

Свойства операции умножения – это аксиомы и обозначим их А₇, А_8. Символически это определение можно записать так:

<N, ×> ("а, b ÎN)(а, b)® а × b.

А₇("а ÎN) а × 1= а

А₈ ("а, b ÎN) а × b' = аb +a

Теорема 4. Умножение натуральных чисел существует и определено однозначно.

Таблицу умножения однозначных чисел можно вывести, используя определение умножения, теорему о существовании и единственности умножения и таблицу сложения.

Таблица:

1. Умножение на 1:

по А₇("а ÎN) а × 1= а

1 × 1 = 1; 2 × 1 = 2; 3 × 1 = 3; 4 × 1 = 4; 5 × 1 = 5; 6 × 1 = 6; 7 × 1 =7; 8 × 1= 8; 9 × 1= 9.

2. Умножение на 2:

(символическая запись т.у. – таблица умножения)

1 × 2=1 × 1' 1 × 1 + 1 1+1 2.

2 × 2 = 2 × 1' 2 × 1+2 2 + 2 4;

3 × 2 = 3 × 1' 3 × 1 +3 3 + 3 6;

…

9 × 2 = 9 × 1' 9 × 1 + 9 9 + 9 18.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.