![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция α (x) называется бесконечно малой при , если
Теоремы о бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если an — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно большая последовательность.
ВОПРОС № 10-(29)
Понятие последовательности и ее предела. Предел функции. Теоремы о пределах
Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству |xn - a| < e.
Записывают это следующим образом: или xn→ a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- e < xn < a + e, (6.2)
которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если то
Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.
ВОПРОС № 9-(28)
Уравнение параболы и исследование ее формы
Пара́бола— геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус называется осью параболы. Это прямая является (единственной) осью симметрии параболы.
Вопрос № 5-(27)
Уравнение гиперболы и исследование ее формы. Эксцентриситет и ассимптоматы гиперболы
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами и
, расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы
, или
.
Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось. С учетом того, что с2 – а2 = b2: Если а = b, e =, то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Аси́мпто́та — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.
ВОПРОС № 3-(26)
Уравнение эллипса и исследование его формы. Эксцентриситет эллипса
Эллипсом (рис.1) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Уравнение эллипса (рис.1):
Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ (рис.1), при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY, а при a = b эллипс становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.
Отрезок F1F2 = 2 с, где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a, e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.
Пусть Р (х1, у 1) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:
Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1: k 2 = m 2 a 2 + b 2.
ВОПРОС № 4-(25)
Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени
a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Линии второго порядка В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,
нераспадающиеся линии:
— эллипсы,
— гиперболы,
y2 = 2px — параболы,
— мнимые эллипсы;
распадающиеся линии:
— пары пересекающихся прямых,
— пары мнимых пересекающихся прямых,
x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,
x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,
x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 539 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!