Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой модификацию МПИ (5) решения СЛАУ, при котором для подсчета i -й компоненты (k+1) -го приближения используются уже найденные на этом, т.е. (k+1) -м шаге, новые значения первых (i-1) компонент. Т.е., если система (1) тем или иным способом сведена к системе (3) с матрицей коэффициентов a и вектором свободных членов b, то приближения к ее решению по методу Зейделя определяются системой равенств:

(8)

где k = 0, 1, 2, …;

x_i⁽⁰⁾ – компоненты выбранного начального вектора.

Сформулированная выше Теорема 1 о сходимости МПИ остается верной и для метода Зейделя. Выбор начального приближения осуществляется по тому же принципу, что и в МПИ.

Пример 3.

Решим систему примера 2 методом Зейделя.

Итерационный процесс метода Зейделя запишется следующим образом:

х₁^(k+1) = -0,36х₂^(k) - 0,197х₃^(k) + 2,71

х₂^(k+1) = -0,4х₁^(k+1) + 0,27х₃^(k) + 1,92

х₃^(k+1) = -0,167х₁^(k+1) + 0,208х₂^(k+1) + 2,333,

Начиная процесс вычислений с того же начального приближения
x⁽⁰⁾ = 0, последовательно получаем:

х₁⁽¹⁾ = 2,71

х₂⁽¹⁾ = -0,4×2,71 + 1,92 = 0,84

х₃⁽¹⁾ = -0,167×2,71 + 0,208×0,84 + 2,333 = 2,06

х₁⁽²⁾ = -0,36×0,84 - 0,19×2,06 + 2,71 = 2,02

х₂⁽²⁾ = -0,4×2,02 + 0,27×2,06 + 1,92 = 1,67

х₃⁽²⁾ = -0,167×2,02 + 0,208×1,67 + 2,333 = 2,34

х₁⁽³⁾ = -0,36×1,67 - 0,197×2,34 + 2,71 = 1,65

х₂⁽³⁾ = -0,4×1,65 + 0,27×2,34 + 1,92 = 1,89

х₃⁽³⁾ = -0,167×1,65 + 0,208×1,89 + 2,333 = 2,45

х₁⁽⁴⁾ = -0,36×1,89 - 0,197×2,45 + 2,71 = 1,54

х₂⁽⁴⁾ = -0,4×1,54 + 0,27×2,45 + 1,92 = 1,96

х₃⁽⁴⁾ = -0,167×1,54 + 0,208×1,96 + 2,333 = 2,48

Истинная ошибка приближения x⁽⁴⁾ метода Зейделя

.

Она меньше в 3 раза истинной ошибки метода простых итераций.

Заметим, что обычно метод Зейделя сходится к решению быстрее МПИ.