Линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Способы решения СЛАУ делятся на две группы:

1) прямые методы, т.е. методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. К ним относятся метод Крамера, метод Гаусса. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным. В связи с этим прямые методы еще называют точными методами.

2) итерационные методы – методы, в которых решение может быть получено с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. К ним относятся метод простых итераций, Зейделя, релаксации, Шульца.

В данном методическом пособии рассматриваются два итерационных метода решения СЛАУ: метод простых итераций и метод Зейделя.

2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

A x = b, (2)

Преобразуем систему (2) тем или иным способом (таких способов существует множество; некоторые из них будут рассмотрены ниже) к эквивалентной ей системе вида:

x = ax + b, (3)

где x – тот же вектор неизвестных, a, b - некоторые новые матрица и вектор соответственно.

Эта система называется приведенной к нормальному виду. Она пригодна для итерационного процесса.