Эмпирической и теоретической функций распределения

Во многих практических задачах точный закон распределения исследуемой случайной величины не известен. При обработке экспериментальных данных для характеристики частотных свойств ряда наблюдений исследователь подбирает теоретико-вероятностную модель этого ряда.

В качестве модели может быть выбрано нормальное распределение Пуассона.

Пусть экспериментатор по виду гистограммы или из других соображений выдвинул гипотезу о законе распределения, которому подчиняется исследуемая случайная величина.

Проверка гипотезы о предлагаемом законе распределения производится с помощью критериев согласия. Наиболее распространенным критерием согласия является критерий Х² Пирсона, который позволяет проверять близость эмпирической функции распределения с гипотетической (предполагаемой) функцией.

Вид гистограммы, а также значения A_S, E_S и позволяют выдвинуть гипотезу о нормальном виде распределения исследуемого признака. Для проверки этого на основании гипотетической функции

вычисляют вероятности попадания случайной величины в интервалы

]x_i-1, x_i[:

р_i = P(x _i-1 < x < x _i) = F(x _i) – F(x _i-1), i = 1,2,3….,k.

Умножая эти вероятности на объем выборки, получают теоретические абсолютные частоты nр_i интервалов ]x_i-1, x_i[. После чего подсчитывают выборочную статистику X²_набл:

(7)

Зная уровень значимости a и число степеней свободы по таблицам квантилей Х² – распределения находят критическое значения Х²_a,n.

Заметим, что число степеней свободы n данного распределения равно n = k - r – 1,

где k – число интервалов;

r – число параметров предполагаемой функции распределения.

Например, у нормального закона распределения r = 2, (a,σ), у распределения Пуассона r = 1, (a).

Сравнивая наблюдаемое значение выборочной статистики, вычисленной по формуле (7), с критическим значением, приходят к выводу:

1. Выдвинутая гипотеза отвергается, если X²_набл > Х²_a,n, то есть гипотетическая функция распределения не согласуется с опытными данными;

2. Выдвинутая гипотеза принимается, если X²_набл < Х²_a,n, то есть гипотетическая функция распределения согласуется с опытными данными.

Для применения критерия Пирсона необходимо, чтобы в каждом интервале было не менее 5 значений признака. Если это не так, то рекомендуется объединить такие интервалы с соседними.

Значения статистических характеристик подтверждают обоснованность нашего предположения о нормальном распределении исследуемой совокупности. Параметрами этого распределения будут эмпирическая средняя и среднее квадратичное отклонение S (r = 2).

Гипотетическая функция распределения имеет вид:

.

Для вычисления значений F(x) сделаем замену , что позволит воспользоваться таблицами значений F(u_i) функции Лапласа (x_i – концы интервалов). Дальнейшие расчеты приведены в таблице 3.

Таблица 3

ui	F(ui)	рi	F*(ui)	mi	nрi	mi-nрi	(mi-nрi)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
-2,1653	-0,4848	0,0292	0,0292		5,84	-2,84	8,0656	1,3811
-1,7027	-0,4556	0,0633	0,0925		12,66	4,34	18,8356	1,4878
-1,2385	-0,3923	0,1078	0,2003		21,56	7,44	55,3536	2,5674
-0,7773	-0,2845	0,1609	0,3612		32,18	0,82	0,6724	0,0209
-0,3147	-0,1236	0,1815	0,5437		36,50	-2,50	6,25	0,1712
0,1481	0,0589	0,1702	0,7139		34,04	-1,04	1,0816	0,0318
0,6100	0,2291	0,1291	0,8430		25,82	-4,82	23,2324	0,8998
1,0722	0,3582	0,0781	0,9211		15,62	-2,62	6,8644	0,4395
1,5361	0,4363	0,0408	0,9619		8,16	3,84	14,7456	1,8071
1,9988	0,4771	0,0161	0,9780		3,22
2,4650	0,4932	0,0051	0,9831		1,02	0,50	0,25	0,0556
2,9242	0,4983	0,0013	0,9844		0,26
3,3869	0,4996
							X2набл = 8,8622

^*) Так же, как и при определении доверительного интервала, a определяется условиями эксперимента.

Зададим a = 0,05. В рассматриваемом примере К = 10 (3 последних интервала объединены в один), поэтому n = 10 – 2 – 1 = 7.

По таблицам квантилей Х² распределения находят: X²_0,05;7 = 14,067.

Так как X²_набл = 8,8622 < 14,067, то выдвинутая гипотеза о том, что совокупность объектов (исследуемых образцов бетона на прочность) подчиняется нормальному закону распределения, принимается.

Заметим, что для построения теоретической кривой распределения используют данные колонки 4 таблицы 3.