![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Общая схема исследования функции. 1. Находим область определения D(x). 2. Находим точки разрыва второго род, обозначаем вертикальные асимптоты. 3. Исследуем функцию на четность/нечетность, периодичность. 4. Находим точки пересечения с Ox и Oy. С Ox: x=o, y-?. C Oy: y=0, x-? 5. Находим наклонные асимптоты, если они есть. 6. Исследуем функцию на наличие критических точек. Решаем уравнение . 7. Определяем промежутки монотонности. 8. Находим вторую производную и точки, для которых она равна 0 или не существует. 9. Находим промежутки знакопостоянства второй производной. 10. Составляем таблицу. 11. на основе таблицы определяем точки локального экстремума и точки перегиба.
. Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:
. Док-во: Пусть, для определенности,
-точка максимума. Значит, в окрестности точки
выполняется неравенство
. Но тогда
, если
>0, и
, если
<0. По условию теоремы производная
существует. Переходя к пределу, при
, получим
, если
<0 и
, если
>0. Поэтому:
. Теорема (достаточное условие экстремума): Если непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой
-окрестности и критической точки
и при переходе через нее 9слева направо) производная
меняет знак с плюса на минус, то
есть точка максимума; с минуса на плюс, то
-точка минимума. Док-во: рассмотрим
-окрестность точки
. Пусть выполняются условия:
и
. Тогда функция f(x) возрастает на интервале
, а на интервале
она убывает. Отсюда следует, что значение f(x) в точке
является наибольшим на интервале
, т.е. f(x)<f(
) для всех
. Это и означает, что
- точка максимума функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своих наибол. и наим. значений. Это значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a,b], либо на границе отрезка, т.е. при
=a или
=b. Если
, то точку
следует искать среди критических точек данной функции.
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [a,b]:
1) найти критические точки функции на интервале (a,b);
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Замечания:
1. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.
2. Если функция y=f(x) на отрезке [a,b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 417 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!