![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.
Квадратичной формой F, зависящей от n переменных x 1, x 2, …,x n называется функция вида
F = a 11 x 12 + 2 a 12 x 1 x 2 + a 22 x 22 + … + ann xn 2 = i, j = 1 n ∑ aij xi xj, |
где aij = aji (i, j = 1, …,n) — вещественные числа.
Симметричная матрица A = (aij) (i, j = 1, …,n) называется матрицей квадратичной формы F.
Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.
Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу
Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её угловые миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки
чередуются, начиная с отрицательного, причём
. Здесь у гловыми минорами матрицы
называются определители вида
Для положительно полуопределённых матриц критерий звучит подобным образом: Форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Здесь главным минором называется определитель подматрицы симметричной относительно главной диагонали, т. е. подматрицы, у которой множества задающих её номеров столбцов и строк одинаковые (напр. 1-й и 3-й столбцы и строки, на пересечении которых расположена матрица).
приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 537 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!