Линейные операторы. Ядро, матрица, характеристическое уравнение линейного оператора Собственные значения и собственные векторы операторов

инейные операторы. [править]

Оператор называется линейным, если:

1.

2.

- нулевой оператор.

-тождественный оператор.

- сумма двух операторов.

- степень оператора.

- умножение операторов.

Матрица линейного оператора. [править]

Возьмём базис в X,\, базис в Y.

Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён:

Матрица оператора

Утверждение. Если матрица осуществляет действие оператора А, то В является матрицей оператора А.

Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают : . Ядро линейного оператора линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается : .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

Уравнение называется характеристическим уравнением ¹²⁾ оператора .

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования вещественного линейного пространства следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис линейного пространства и найти в этом базисе матрицу преобразования .

2. Составить характеристический многочлен преобразования .

3. Найти все различные действительные корни характеристического уравнения . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений , где . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования , отвечающие собственному значению

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образовать ненулевые линейные комбинации

где — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений линейного преобразования .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.