Монотонные функции. Условия монотонности функции

Теорема(необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) возрастает (убывает), то для любых . Док-во. Пусть функция f(x) возрастает на интервале (a,b). Возьмем произвольные точки х и х + на интервале (a,b) и рассмотрим отношение . Функция f(x) возрастает, поэтому если >0, то x+ >x и f(x+ )>f(x); если <0, то x+ >x и f(x+ )<f(x). В обоих случаях >0, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f(x) имеет производную в точке x и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно, . Аналогично рассматриваем тот случай, когда функция f(x) убывает на интервале (a,b). Данная теорема означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ox или в некоторых точках параллельны оси Ox.

Теорема(достаточные условия). Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a,b). Док-во. Пусть . Возьмем точки и из интервала (a,b), причем > . Применим к отрезку [ , ] теорему Лагранжа: f() - f()= , где . По условию . Следовательно, f() - f()>0 или f()>f(), т.е. функция f(x) на интервале (a,b) возрастает. Возрастающая или убывающая функция называется монотонной.