Производная функции, заданной неявно

Функция y (x) в окрестности точки x ₀ обращает уравнение F (x, y) = 0 в тождество, т.е.

F (x, y (x)) ≡ 0.

Дифференцируя это тождество, получaeм dF (x, y (x)) ≡ 0, а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем

F ' x · dx + F ' y · dy (x) ≡ 0.

Отсюда получаем следующие формулы.

Дифференциал функции, заданной неявно:

dy (x) = − F ' x F ' y · dx,

Производная функции, заданной неявно:

dy dx = − F ' x F ' y .

Теорема 1 обобщается для неявных функций любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция F (x, y, z) = 0 удовлетворяет условиям

1. F (x ₀, y ₀, z ₀) = 0;

2. частные производные F ' _x, F ' _y и F ' _z непрерывны в некоторой окрестности точки (x ₀, y ₀, z ₀);

3. F ' _z (x ₀, y ₀, z ₀) ≠ 0.

Тогда

1. уравнение F (x, y, z) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки (x ₀, y ₀) единственную непрерывную функцию z (x, y), удовлетворяющую условию z (x ₀, y ₀) = z ₀;

2. функция z (x, y) имеет непрерывные частные производные в окрестности точки (x ₀, y ₀), вычисляемые по формулам

∂ z ∂ x = − F ' x F ' z , и ∂ z ∂ y = − F ' y F ' z .

39.Производные и дифференциалы высших порядков.