Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f (x) параллельна оси О X (рис. 1).

Доказательство. По предыдущей теореме, функция f принимает на [a,b] наибольшее и наименьшее значения. Пусть она достигает наибольшего и наименьшего значения в точках x_M и x_m соответственно. Если x_M и x_m – концы отрезка [a,b], то, поскольку f(a)=f(b), наибольшее и наименьшее значения функции f совпадают. Значит, функция f постоянна, и производная ее во всех внутренних точках [a,b] равна нулю. Значит, в качестве c можно взять любую внутреннюю точку [a,b]. Пусть хотя бы одно из чисел x_M,x_m лежит внутри отрезка [a,b]. Тогда по теореме Ферма получаем, что производная функции f в этой точке равна нулю.