![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
его свойства и применение*
Смешанным произведением векторов ,
и
называется число, равное скалярному произведению вектора
на вектор, равный векторному произведению векторов
и
.Обозначается как
.
Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1. Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хотя бы один из векторов нулевой;
б) в произведении есть коллинеарные векторы;
в) векторы компланарны.
2. .
3. .
4. .
В координатной форме смешанное произведение векторов ,
и
равно:
.
Применение смешанного произведения векторов.
1. Проверка тройки векторов на компланарность. Векторы ,
и
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю при условии, что
¹
,
¹
,
¹
:
векторы
,
и
компланарны.
Пример 1. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Решение.Если заданные точки лежат в одной плоскости, то соответствующая тройка векторов, выходящих из общего начала, будет компланарна. Проверим, компланарны ли векторы с общим началом в точке А. Найдем координаты этих векторов: ,
,
. Вычислим их смешанное произведение:
.
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
2. Определение взаимной ориентации тройки векторов в пространстве. Тройка векторов ,
и
в пространстве правоориентирована, если
,и левоориентирована при
.
3. Нахождение объемов. Смешанное произведение
по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах
,
и
, как на сторонах (рис. 13), т.е.
.
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ,
и
, как на сторонах (рис. 14), равен одной шестой смешанного произведенияэтих векторов, взятого по абсолютной величине, т.е.
.
Пример 2. Найти длину высоты треугольной пирамиды с вершинамиA(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2), опущенную на грань BCD.
Решение.Даны координаты векторов: ,
. Тогда объем пирамиды можно вычислить по формуле
Из школьного курса математики известно, что . Откудаследует, что
Поэтому для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Определим модуль векторного произведения векторов:
.
Тогда площадь треугольника BCDравна S осн = (ед.2), а длина искомой высоты –
(ед.).
Литература: [3, гл. 2, п. 12.13]; [4, гл. 2, §8].
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 911 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!