Для уравнения Лиувилля

Уравнение с постоянными коэффициентами и неограниченной на вещественной оси областью определения описывает однородную систему и решается методом Фурье-преобразования, т. е. путем разложения уравнения по базису гармонических функций.

Если коэффициенты уравнения являются функциями , где , и/или область определения конечная, то используется метод спектрального разложения, обобщающий метод Фурье. Разложение ведется по ортонормированному базису функций, удовлетворяющих однородному уравнению.

Рассмотрим метод применительно к уравнению Лиувилля

, (9.27)

где ; – вещественные. Число называется собственным значением, частное решение – собственной функцией. Множество считаем известным.

Дискретный спектр

В гильбертовом пространстве функций с областью определения частные решения уравнений (9.27), отличающихся числом , образуют базис с условием ортонормированности

. (9.28)

Доказательство:

Уравнение (9.27) записываем для и , и умножаем слева соответственно на и :

,

.

Равенства взаимно вычитаем, третьи слагаемые переносим направо

.

Интегрируем по области определения . Для левой стороны получаем

.

Граничные условия (9.2) в точках A и B

,

,

где ; – вещественные, дают

,

.

В результате

.

При , получаем ортогональность функций базиса

, .

С учетом нормировки функций за счет постоянных множителей, получаем (9.28).