Свойства определителя Вронского

1. Определитель Вронского выражается через коэффициенты и исходного уравнения (9.1)

. (9.20б)

Доказательство:

Уравнения (9.1) для частных решений умножаем слева

,

.

Взаимно вычитаем

,

получаем уравнение

.

Интегрирование дает (9.20б).

2. Для линейно зависимых решений определитель Вронского равен нулю.

Доказательство:

Если решения однородного уравнения линейно зависимые

,

тогда

.

Юзеф Мария Вроньский (1776–1853)

Имел имя по рождению Юзеф Хёне, сменил фамилию в 1811 г. Польский математик и философ-мистик, артиллерийский офицер, служил в штабе А.В. Суворова до 1797 г. Изучал юридические науки, историю философии и математику в Германии и Франции. Функциональный «определитель Вронского» ввел в 1812 г.

Соотношение между решениями и

Если , то решения и линейно независимые и связаны соотношением:

. (9.21)

Доказательство:

Используем (9.20а)

,

получаем

.

Интегрируем

и получаем первое равенство (9.21).

Подставляем (9.20б)

и получаем второе равенство (9.21).