Функция Грина

является реакцией линейной системы на точечное возмущение, где

x ¢ – точка, где действует возмущение на систему,

x – точка, где рассматривается реакция системы.

Точечным возмущением может быть: поле, тепло, сила, заряд и т. д., действующие на систему в точке.

1. Функция Грина связывает локальную причину (возмущение) со следствием (реакцией системы);

2. Если система описывается однородным дифференциальным уравнением второго порядка, то функция Грина является фундаментальным решением неоднородного уравнения с правой частью в виде ;

3. Используя функцию Грина можно найти реакцию линейной системы на произвольное возмущение, представляя его суммой точечных воздействий, т. е. решить неоднородное дифференциальное уравнение с произвольной функцией в правой части.

4. Через функцию Грина выражается плотность состояний системы.

Джордж Грин (1793–1841) – математик и физик – самоучка, сын пекаря и мельника, продолживший занятие своего отца. Жил в провинциальном городе Ноттингеме в Англии. Самостоятельно изучил латинский и древнегреческий языки, обязательные для поступления в университет, а также французский язык. Окончил Кембриджский университет в 44 года. В 1828 г. ввел «функцию Грина» и потенциал. Для функции с непрерывными производными получил «формулу Грина», связывающую интеграл по замкнутому контуру с интегралом по площади, ограниченной этим контуром. Грин исследовал одиночную волну на воде (солитон – от англ. solitary wave – «уединенная волна») в канале и показал, что при прохождении волны частицы воды совершают круговые движения в вертикальной плоскости. Получил выражение для электрического поля эллипсоида в n -мерном пространстве. При жизни его работы не получили признания. Умер от пьянства в 48 лет. Портрет Грина не найден.

Функция Грина для системы,