Функция Бесселя полуцелого порядка

Функция Бесселя целочисленного порядка не сводится к элементарным функциям. Функция полуцелого порядка выражается через тригонометрическую функцию.

1. Используем представление (8.9) в виде ряда

при

.

С учетом

,

находим

.

Сумма является разложением косинуса, в результате

. (8.53)

2. Из (8.42)

при m = –1/2

,

получаем

. (8.54а)

3. Из (8.37)

при m = 1/2

,

откуда

. (8.54б)

4. Из (8.43)

,

при

,

с учетом (8.53)

,

находим

. (8.55)

5. Из (8.41)

,

при

,

с учетом (8.54а)

получаем

. (8.56)

Нули

k – порядковый номер нуля. Числовые расчеты для первых нулей дают:

x _0,1 = 3,0, x _0,2 = 6,2;

x _1,1 = 4,4, x _1,2 = 7,7;

x _2,1 = 5,7, x _2,2 = 9,0.