![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциями.
Функции вида:
- показательная;
- логарифмическая;
- тригонометрические;
- обратные тригонометрические).
3. Числовая последовательность
Числовая последовательность – функция вида а = f (x), x Î N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается а = f (n)или а 1, а 2,…, аn,…. Значения а 1, а 2, а 3,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например: an = n 2
a 1 = 12 = 1;
a 2 = 22 = 4;
a 3 = 32 = 9;… an = n 2
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
an = f (n).
Пример 3.1. an = 2 n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательныйспособ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 3.2. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 3.3. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. В таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие.
Пример 3.4. a 1 = 3; an = an –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь a 1 = 3; a 2 = 3 + 4 = 7; a 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность можно задать аналитически: an = 4 n – 1.
Свойства числовых последовательностей. Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность { an }называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
a 1 < a 2 < a 3 < …< an < an +1 < ….
Определение.Последовательность { an }называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
a 1 > a 2 > a 3 > … > an > an +1 > ….
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Определение.Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T,что начиная с некоторого n, выполняется равенство an = an+T. Число T называется длиной периода.
Пример 3.6. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.
Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность { an }, заданная рекуррентно соотношениями
a 1 = a, an = an –1 + d (n = 2, 3, 4, …)
(a и d – заданные числа).
Пример 3.7. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a 1 = 1, d = 2.
Пример 3.8. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a 1 = 20, d = –3.
Нетрудно найти явное (формульное) выражение an через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет навеличину (n – 1) d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.
an = a 1 + d (n – 1).
Это формула n- го члена арифметической прогрессии.
Геометрическая прогрессия. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность { bn }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b, bn = bn –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ¹ 0, q ¹ 0).
Пример 3.9. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 3.10. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3.11. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1.
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 12, b 22, b 32, …, bn 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 12, а знаменатель – q 2.
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
bn = b 1 qn– 1.
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
.
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда a ¹1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае Sn = a 1 n.
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности. Пусть есть последовательность { cn } = {1/ n }.Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или
. С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходитсяи нуль есть ее предел. Записывается это так:
.
Строгое определение предела формулируется следующим образом:
Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа e найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от e), что для всех n ³ N будет выполнено неравенство | an – A | <e, то говорят, что последовательность{ an }сходится и A – ее предел.
Обозначается это так: .
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности { cn } = {1/ n }. Пусть e – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
.
Существует ли такое N, что для всех n ³ N выполняется неравенство 1 /N < e? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее1e /, то для всех n ³ N выполняется неравенство 1 /n £ 1 /N < e,что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 3.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 3.2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3.3. Если последовательность { an }имеет предел A, то последовательности { can }, { an + с}и {| an |}имеют пределы cA, A + c, | A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 3.4. Если последовательности { an }и { bn } имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность { pan + qbn } имеет предел pA + qB.
Теорема 3.5. Если последовательности { an } и { bn }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность { anbn } имеет предел AB.
Теорема 3.6. Если последовательности { an }и { bn } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, bn ¹ 0 и B ¹ 0, то последовательность { an / bn } имеет предел A/B.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 304 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!