Плоскость и прямая в пространстве

3.1. Уравнение поверхности в пространстве.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве представляет собой три перпендикулярные прямые Ox, Oy, Oz, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями. Координатами точки M ₀(x ₀ ,y ₀ ,z ₀) называются координаты оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.

Уравнением поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными F (x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и только они.

3.2. Плоскость в пространстве.

Пусть плоскость проходит через точку M ₀(x ₀ ,y ₀ ,z ₀) перпендикулярно вектору =(А,B,C). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор называется нормальным вектором плоскости. Для произвольной точки плоскости M (x,y,z) («текущей точки») векторы = (x-x ₀, y-y ₀, z-z ₀) и должны быть перпендикулярны. Следовательно,

скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. (, )=0. Полученное уравнение представим в координатной форме:

А (x- x ₀) + В (y- y ₀) + C (z- z ₀) = 0. (18)

M

M0

Уравнение (18) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору = (А,B,C) и проходящей через данную точку M ₀(x ₀ ,y ₀ ,z ₀) (рис. 9).

y

x

Рис. 9

Пример 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ₀(-1,0,2) и перпендикулярной вектору = (2,5,-1).

Решение. Искомое уравнение имеет вид 2(x+ 1)+5(y- 0)-1(z- 2)=0. ■

Уравнение плоскости, записанное в виде

Аx + By + Cz + D = 0 (19)

(где D = - Аx ₀ - By ₀ - Cz ₀), называется общим уравнением плоскости. Так, в предыдущем примере уравнению можно придать вид 2 x+ 5y-z+4 = 0.

Замечание. Всякое уравнение вида (19) (где хотя бы одно из чисел А, В, С не равно нулю) задает плоскость в пространстве и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Отметим, что уравнение (, )=0 можно применить для вывода уравнения плоскости в пространстве, заданной тремя точками M ₁(x ₁ ,y ₁ ,z ₁), M ₂(x ₂ ,y ₂ ,z ₂), M ₃(x ₃ ,y ₃ ,z ₃), не лежащими на одной прямой. Так, взяв в качестве нормального вектора = - векторное произведение на , а в качестве M ₀ точку M ₁, получим

(, ) = 0,

что приводит к уравнению плоскости в форме определителя:

. (20)

В частности, если плоскость не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M ₁ (a,0,0), M ₂ (0, b,0), M ₃ (0,0, c), то уравнение (20) приводится к виду

, (21)

называемому уравнением плоскости «в отрезках».

Рассмотрим далее частные случаи общего уравнения плоскости.

Если D= 0, то уравнение Аx+By+Cz= 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи определяются расположением нормального вектора = (А,B,C). Так, например, если А= 0, то уравнение By+Cz+D= 0 определяет плоскость, параллельную оси Ox (и проходящую через ось Ox, если D= 0); если А=B= 0, то уравнение Cz+D= 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Oxy (в частности, z = 0 - уравнение самой плоскости Oxy).

Двугранный угол между двумя плоскостями, заданными своими общими уравнениями

А ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0,

А ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, (22)

равен углу j между их нормальными векторами =(А ₁ ,B ₁ ,C ₁) и = =(А ₂ ,B ₂ ,C ₂) и определяется по формуле

cos j = = ; (23)

угол j лежит в пределах от 0 до p; другой двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен p - j.

Пример 17. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями 3 x-y- 2 z +250 = 0 и x -2 y+z -111 = 0.

Решение. Находим косинус угла между нормальными векторами =(3,-1,-2) и =(1,-2,1):

cos j = = ;

отсюда j=arccos . Другой двугранный угол равен 180°-71°=109°. ■

Две данные плоскости (22) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы =(А ₁ ,B ₁ ,C ₁) и =(А ₂ ,B ₂ ,C ₂) перпендикулярны между собой, откуда скалярное произведение (, )=0 или =0. Например, плоскости 3 x - y +2 z -31 = 0 и 5 x+ 3 y -6 z +1 = 0 перпендикулярны, так как 3×5+(-1) ×3+2×(-6)=0. Две данные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, т.е. при выполнении условия .

Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ₀(1,-1,0) и параллельной плоскости 2 x +3 y- 4 z -1 = 0.

Решение. Так как у параллельных плоскостей один и тот же нормальный вектор =(2,3,-4), то искомое уравнение имеет вид 2(x -1)+3(y+ 1)-4(z- 0)=0 или 2 x +3 y- 4 z +1 = 0. ■

3.3 [кроме ФЭУ] .Прямая линия в пространстве.

Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений F (x,y,z)=0, F (x,y,z)=0 как пересечение двух поверхностей, задаваемых этими уравнениями.

Так, прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе

Если прямая в пространстве параллельна вектору = (а ₁, а ₂, а ₃) (называемому направляющим вектором) и проходит через точку M ₀(x ₀ ,y ₀ ,z ₀), то её уравнения могут быть получены из условия коллинеарности векторов = (x-x ₀, y-y ₀, z-z ₀) (где M (x,y,z) - произвольная точка прямой) и = (а ₁, а ₂, а ₃):

. (24)

Уравнения (24) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 19. Составить уравнения прямой, проходящей через точки M ₀(1,-1,3) и M ₁(0,3,5).

Решение. Воспользуемся уравнениями (24), взяв в качестве направляющего вектора = (0-1,3-(-1),5-3) или = (-1,4,2):

.