Прямая линия на плоскости

1.1. Уравнение линии на плоскости.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости представляет из себя две перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями - осью абсцисс Ох и осью ординат Оy.

Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение F (x,y)=0 (или y = j (x)), связывающее две переменные величины x и y. Это уравнение называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если 1) ему удовлетворяют координаты (x,y) любой точки линии L и 2) ему не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

1.2. Различные виды уравнения прямой.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени

Ax + By + C = 0 (1)

(где А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Возможны следующие случаи:

1) С = 0, уравнение имеет вид Ax + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) В = 0 (А ¹ 0), уравнение принимает вид Ax + C = 0 или x = - прямая, параллельная оси Oy (в частности, x = 0 - уравнение самой оси Oy);

3) А = 0 (В ¹ 0), уравнение принимает вид Вy + C = 0 или y = - прямая, параллельная оси Ox (в частности, y = 0 - уравнение самой оси Ox).

M

y

y

Рис.1

Замечание. Для построения прямой, заданной общим уравнением, достаточно указать любые две ее точки.

N

Пример 1. Определить точки пересечения прямой 3 x - 4 y + 12= 0 с координатными осями и построить эту прямую.

-4

x

Решение. Полагая x = 0, находим y = 3; таким образом, получена точка М (0,3) пересечения

прямой с осью Oy. При y = 0 значение x = -4 и N (-4,0) - точка пересечения прямой с осью Ox. Осталось провести прямую через точки М и N (рис. 1). ■

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

, (2)

где a = и b = есть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях. Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках». Эта форма уравнения прямой особенно удобна для построения прямой на чертеже. Так, в предыдущем примере, после записи уравнения прямой в виде , легко определить координаты точек М и N.

Рассмотрим на плоскости xOy прямую, не параллельную оси Oy; при движении вдоль такой прямой в одном направлении x возрастает, а в другом убывает. Направление, отвечающее возрастанию x, назовем положительным. Угол a, на который надо повернуть положительную полуось Оx, чтобы совместить ее с положительным направлением данной прямой, называют углом наклона прямой к оси абсцисс. При этом угол наклона считается положительным, если положительную полуось Оx надо поворачивать против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, так что < a < . Можно считать, что для прямой, параллельной оси Оy, угол наклона a = .

Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Оx:

k = .

Замечание. Прямая, параллельная оси Оy, не имеет углового коэффициента, т.к. не существует; или можно считать, что ее угловой коэффициент равен бесконечности, т.к. при a ® ® ¥.

Если прямая не параллельна оси Оy, то ее уравнение можно записать в виде

y = kx+b. (3)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент; b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оy, считая от начала координат. В частном случае, при b = 0 прямая y = kx проходит через начало координат.

Из общего уравнения прямой (1) при В¹ 0 можно получить уравнение y = , т.е. уравнение прямой с угловым коэффициентом k = .

Пример 2. Найти угол наклона к оси Оx прямой, заданной общим уравнением 2 x + 5 y + 17= 0.

Решение. Выразим из данного уравнения y. Получим уравнение прямой с угловым коэффициентом y = . Откуда, k = = -0,4, так что = -0,4. Искомый угол a = . ■

Рассмотрим далее решение некоторых типовых задач.

Задача 1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

x 1

x 2

x

y 1

y 2

y

M2

M1

Пусть имеются две точки М₁(x ₁, y ₁) и М₂(x ₂, y ₂). Из геометрических соображений (рис. 2) угловой коэффициент искомой прямой равен . Подставим полученное значение k в уравнение (3): y = x +b.

Рис. 2 Учитывая, что прямая проходит через точку М₁(x ₁, y ₁), а, значит, ее координаты удовлетворяют искомому уравнению прямой, находим

b= y ₁ - x ₁.

Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записываем в виде

= . (4)

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,2) и В(-1,3).

Решение. Искомое уравнение, согласно (4), имеет вид , откуда x + 2 y - 5 = 0. ■

Задача 2. Угол между двумя прямыми.

Пусть даны уравнения двух прямых (не параллельных оси Oy) y=k ₁ x+b ₁и y = k ₂ x+b ₂, причем, k ₁ = и k ₂ = (k ₁ < k ₂). Тангенс угла j

y=k 2 x+b 2

φ

y=k 1 x+b 1

y

между положительными направлениями этих прямых (0 < j < p) можно определить из соотношения (рис. 3)

α 2

α 1

Рис. 3 = = = . (5)

x

Замечание. Очевидно, второй угол, образованный прямыми, равен p -j.

Пример 4. Найти угол между положительными направлениями прямых y = 2 x + 51 и y = 3 x - 19.

Решение. Здесь k ₁ = 2, k ₂ = 3, k ₁ < k ₂. По формуле (5) = = ; искомый угол j = . ■

Пример 5. Найти углы между прямыми y = x - 6 и x = 2.

Решение. Здесь пользоваться формулой (5) невозможно, т.к. прямая x = 2 не имеет углового коэффициента. Так как угол наклона первой прямой к оси Ox может быть найден из определения углового коэффициента: = и j= 60°, то угол между положительным направлением этой прямой и положительной полуосью Oy равен 90°-60°=30°. Следовательно, и один из искомых углов равен 30° (другой угол равен 180°-30°=150°). ■

Задача 3. Использование условия перпендикулярности двух прямых.

Даны две прямые y=k ₁ x+b ₁и y=k ₂ x+b ₂. Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. a ₂ = a ₁ + 90°. Тогда = = = = . Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие или k ₁ k ₂ = -1.

Пример 6. Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой y = - x + 1.

Решение. Так как k ₁ = - , то k ₂ = , т.е. = . Отсюда находим a ₂ =30°. ■

Задача 4. Использование условия параллельности двух прямых.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k ₁= k ₂, так как у параллельных прямых углы наклона к оси абсцисс одинаковы.

Замечание. Если прямые заданы общими уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁=0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂=0, то вместо формулы (5) для вычисления угла j между этими прямыми можно пользоваться формулой:

= . (6)

Из формулы (6) видно, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых в этом случае имеет вид А ₁ А ₂+ В ₁ В ₂ = 0, а условием параллельности является равенство .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1,-3) параллельно прямой y = 2 x - 20.

Решение. В искомом уравнении прямой y=kx+b угловой коэффициент k равен 2. Учитывая, что прямая проходит через точку М₀, находим b: -3 = 2×1 + b; b = -5. Искомое уравнение прямой y = 2 x - 5. ■

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.

y

M1(x 1, y 1)

Найти расстояние d от данной точки М₁(x ₁, y ₁) до данной прямой l Ax+ By + C =0 можно по формуле (рис. 4):

l

d

d= (7)

M2(x 2, y 2)

x

Точка М₂(x ₂, y ₂) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁(x ₁, y ₁) на прямую. Угловой коэффициент прямой М₁М₂ равен = .

Координаты точки М₂(x ₂, y ₂) находим из Рис. 4

решения системы уравнений

(8)

Введем замену: u = x ₂ - x ₁; v = y ₂ - y ₁. Тогда (7) и (8) можно записать в виде

d= ; (9)

Au + Bv + Ax ₁ + By ₁ + C = 0;

Au - Bv = 0.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

u = - ;

v = - .

Подставив эти значения в (9), получим

d= = . (10)

Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой 3 x- 2 y -9 = 0.

Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10):

d= = = . ■

2[кроме ФЭУ]. Кривые второго порядка.

Уравнение вида

Ax ²+ Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0, (11)

если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка. Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.

2.1. Окружность.

Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М ₀(x ₀, y ₀). Найдем ее уравнение. Для любой точки М (x, y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ ₀ =R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R= (рис. 5).

Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид:

y

. (12)

M0

Если центр окружности лежит в начале координат, то x ₀= y ₀= 0, а уравнение окружности приобретает вид x ² + y ² = R ².

x

Пример 9. Составить уравнение окружности радиуса 4 с центром в точке

М ₀(0,-3).

Рис. 5

Решение. В данном случае x ₀ = 0, y ₀ = -3,

R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид . ■

Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x ²+ y ²+6 x- 2 y+ 5=0.

Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x ²+6 x+ 9)+(y ²-2 y+ 1)+5-9-1=0. Отсюда . Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса R= с центром в точке (-3,1). ■

2.2. Эллипс.

Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.

Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2 с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид

. (13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF ₁+ MF ₂ = 2 a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F ₁ и F ₂ находятся на расстоянии с = от центра эллипса О (при этом предполагается, что a > b). Отношение = e называется эксцентриситетом эллипса (e < 1).

M(x,y)

-a

a

y

Если М (x, y) - произвольная точка эллипса, то отрезки MF ₁ и MF ₂ (рис. 6) называются фокальными радиусами точки M и определяются по формулам

MF ₁ = a + e x, MF ₂ = a- e x. (14)

-b

Замечание. Если a = b, то уравнение (13) определяет окружность, рассматриваемую как

частный случай эллипса. При этом Рис. 6

эксцентриситет окружности e = 0.

Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М ₁(4,- ) и М ₂(2 ,3), а также найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.

Решение. Подставляя координаты точек М ₁ и М ₂ в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:

, .

Решая эту систему находим полуоси a= и b = . Искомое уравнение эллипса . Находим, далее, с = и расстояние между фокусами 2 с =2 . Эксцентриситет эллипса e = = = =0,5. ■

Пример 12. Убедившись, что точка М (-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М.

Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса , получаем верное равенство, доказывающее, что М - точка эллипса. Фокальные радиусы точки М находим по формулам (14), полагая a= 5, b =4, с = = =3, e = = :

MF ₁ = a + ex = 5+ ×(-4) = 2,6; MF ₂ = a-ex = 5- ×(-4) = 7,4. ■

2.3. Гипербола.

Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.

В системе координат, изображенной на рис. 7, уравнение гиперболы имеет простейший вид

, (15)

называемый каноническим уравнением гиперболы.

F2 y

F1 y

-a

a y

-b y

b y

y

x

M(x,y)

Уравнение (15) получено из равенства | MF ₁- MF ₂ | = 2 a. Здесь а называется действительной полуосью, b - мнимой полуосью гиперболы; фокусы F ₁ и F ₂ находятся на расстоянии с = от центра гиперболы О (при этом а может быть как больше, так и меньше b). Отношение = e называется эксцентриситетом гиперболы (e > 1).

Прямые y = x и y = - x называются асимптотами гиперболы; при неограниченном продвижении точки М (x, y) вдоль гиперболы в бесконечность расстояние от М до соответствующей асимптоты стремится к нулю.

Расстояния от любой точки М (x, y) гиперболы до ее фокусов F ₁ и F ₂ - фокальные радиусы точки М - определяются по формулам:

MF ₁ = |e x + a|, MF ₂ = |e x - a|. (16)

Две гиперболы, заданные уравнениями

,

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Пример 13. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки М ₁(6,-1) и М ₂(-8,2 ), и найти ее асимптоты.

Решение. Подставляя координаты точек М ₁ и М ₂ в уравнение (15), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полуосей гиперболы a и b:

, .

Из этой системы находим а ² = 32, b ² =8. Таким образом, действительная полуось гиперболы a= , а мнимая полуось b = . Искомое уравнение гиперболы . Асимптоты определяются по формуле y = x = x = . ■

Пример 14. Найти координаты фокусов гиперболы , а также расстояния от точки М (-5, ) до фокусов гиперболы.

Решение. Имеем с = = , так что расстояние между фокусами равно 2 с = 10, а координаты фокусов F ₁(-5,0) и F ₂(5,0).

Точка М (-5, ) принадлежит гиперболе (в чём легко убедиться подстановкой её координат в уравнение гиперболы), поэтому искомые расстояния до фокусов вычисляем по формулам (16), полагая в них a = 4, эксцентриситет e = : MF ₁ =| ×(-5) + 4| = ; MF ₂ =| ×(-5) - 4| = . ■

Замечание. Если в уравнении (15) a = b, то гиперболу в этом случае называют равнобочной; ее уравнение имеет вид x ² - y ² = а ²; асимптоты y = x и y = - x взаимно перпендикулярны; эксцентриситет равен . Если взять асимптоты равнобочной гиперболы в качестве новых осей координат, то в такой системе координат гипербола представляет собой график обратной пропорциональной зависимости с уравнением , где k= .

2.4. Парабола.

Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние FС = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой, так что FО=ОС = (рис. 8).

y

y

K

M(x,y)

-p/2

x

F y

x

-p/2

А) Рис. 8 б)

В этой системе координат парабола будет определяться уравнением

y ² = 2 px. (17)

Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы (оно получается из равенства FМ=МК). В этой же системе координат фокус данной параболы F (,0), а директриса имеет уравнение x = . Фокальный радиус произвольной точки М (x, y) параболы (то есть длина отрезка FМ) может быть вычислен по формуле MF = x + .

Уравнение x² = 2py или же y = аx² (где а= ), так же как и уравнение (17) представляет параболу, только в этом случае ось параболы совпадает с осью ординат и парабола расположена так, как показано на рис. 8(б). Её фокус F(0, ), а директриса имеет уравнение y= . Если в уравнении y=аx² коэффициент а отрицателен, то ветви параболы направлены вниз.

Пример 15. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат, точку М (1,-2) и симметричной относительно оси абсцисс; написать уравнение директрисы; найти фокальный радиус точки М.

Решение. Подставив координаты точки М (x = 1, y = -2) в уравнение y ² = 2 px, получим 4=2 p× 1, р =2, так что уравнение параболы y ² = 4 x. Уравнение директрисы x = -1. Фокальный радиус MF =1+ 1 =2. ■