![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1.1. Уравнение линии на плоскости.
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости представляет из себя две перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями - осью абсцисс Ох и осью ординат Оy.
Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение F (x,y)=0 (или y = j (x)), связывающее две переменные величины x и y. Это уравнение называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если 1) ему удовлетворяют координаты (x,y) любой точки линии L и 2) ему не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.
1.2. Различные виды уравнения прямой.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени
Ax + By + C = 0 (1)
(где А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Возможны следующие случаи:
1) С = 0, уравнение имеет вид Ax + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;
2) В = 0 (А ¹ 0), уравнение принимает вид Ax + C = 0 или x = - прямая, параллельная оси Oy (в частности, x = 0 - уравнение самой оси Oy);
3) А = 0 (В ¹ 0), уравнение принимает вид Вy + C = 0 или y = - прямая, параллельная оси Ox (в частности, y = 0 - уравнение самой оси Ox).
|
|
|
|
|
|
|
прямой с осью Oy. При y = 0 значение x = -4 и N (-4,0) - точка пересечения прямой с осью Ox. Осталось провести прямую через точки М и N (рис. 1). ■
Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду
, (2)
где a = и b =
есть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях. Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках». Эта форма уравнения прямой особенно удобна для построения прямой на чертеже. Так, в предыдущем примере, после записи уравнения прямой в виде
, легко определить координаты точек М и N.
Рассмотрим на плоскости xOy прямую, не параллельную оси Oy; при движении вдоль такой прямой в одном направлении x возрастает, а в другом убывает. Направление, отвечающее возрастанию x, назовем положительным. Угол a, на который надо повернуть положительную полуось Оx, чтобы совместить ее с положительным направлением данной прямой, называют углом наклона прямой к оси абсцисс. При этом угол наклона считается положительным, если положительную полуось Оx надо поворачивать против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, так что < a <
. Можно считать, что для прямой, параллельной оси Оy, угол наклона a =
.
Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Оx:
k = .
Замечание. Прямая, параллельная оси Оy, не имеет углового коэффициента, т.к. не существует; или можно считать, что ее угловой коэффициент равен бесконечности, т.к. при a ®
® ¥.
Если прямая не параллельна оси Оy, то ее уравнение можно записать в виде
y = kx+b. (3)
Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент; b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оy, считая от начала координат. В частном случае, при b = 0 прямая y = kx проходит через начало координат.
Из общего уравнения прямой (1) при В¹ 0 можно получить уравнение y =
, т.е. уравнение прямой с угловым коэффициентом k =
.
Пример 2. Найти угол наклона к оси Оx прямой, заданной общим уравнением 2 x + 5 y + 17= 0.
Решение. Выразим из данного уравнения y. Получим уравнение прямой с угловым коэффициентом y =
. Откуда, k =
= -0,4, так что
= -0,4. Искомый угол a =
. ■
Рассмотрим далее решение некоторых типовых задач.
Задача 1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 Учитывая, что прямая проходит через точку М1(x 1, y 1), а, значит, ее координаты удовлетворяют искомому уравнению прямой, находим
b= y 1 - x 1.
Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записываем в виде
=
. (4)
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,2) и В(-1,3).
Решение. Искомое уравнение, согласно (4), имеет вид , откуда x + 2 y - 5 = 0. ■
Задача 2. Угол между двумя прямыми.
Пусть даны уравнения двух прямых (не параллельных оси Oy) y=k 1 x+b 1и y = k 2 x+b 2, причем, k 1 = и k 2 =
(k 1 < k 2). Тангенс угла j
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти угол между положительными направлениями прямых y = 2 x + 51 и y = 3 x - 19.
Решение. Здесь k 1 = 2, k 2 = 3, k 1 < k 2. По формуле (5) =
=
; искомый угол j =
. ■
Пример 5. Найти углы между прямыми y = x - 6 и x = 2.
Решение. Здесь пользоваться формулой (5) невозможно, т.к. прямая x = 2 не имеет углового коэффициента. Так как угол наклона первой прямой к оси Ox может быть найден из определения углового коэффициента: =
и j= 60°, то угол между положительным направлением этой прямой и положительной полуосью Oy равен 90°-60°=30°. Следовательно, и один из искомых углов равен 30° (другой угол равен 180°-30°=150°). ■
Задача 3. Использование условия перпендикулярности двух прямых.
Даны две прямые y=k 1 x+b 1и y=k 2 x+b 2. Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. a 2 = a 1 + 90°. Тогда =
= =
=
. Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие
или k 1 k 2 = -1.
Пример 6. Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой y = - x + 1.
Решение. Так как k 1 = - , то k 2 =
, т.е.
=
. Отсюда находим a 2 =30°. ■
Задача 4. Использование условия параллельности двух прямых.
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k 1= k 2, так как у параллельных прямых углы наклона к оси абсцисс одинаковы.
Замечание. Если прямые заданы общими уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1=0 и A 2 x + B 2 y + C 2=0, то вместо формулы (5) для вычисления угла j между этими прямыми можно пользоваться формулой:
=
. (6)
Из формулы (6) видно, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых в этом случае имеет вид А 1 А 2+ В 1 В 2 = 0, а условием параллельности является равенство .
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1,-3) параллельно прямой y = 2 x - 20.
Решение. В искомом уравнении прямой y=kx+b угловой коэффициент k равен 2. Учитывая, что прямая проходит через точку М0, находим b: -3 = 2×1 + b; b = -5. Искомое уравнение прямой y = 2 x - 5. ■
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.
|
|
|
|
|
|
Координаты точки М2(x 2, y 2) находим из Рис. 4
решения системы уравнений
(8)
Введем замену: u = x 2 - x 1; v = y 2 - y 1. Тогда (7) и (8) можно записать в виде
d= ; (9)
Au + Bv + Ax 1 + By 1 + C = 0;
Au - Bv = 0.
Решая систему из двух последних уравнений, находим
u = - ;
v = - .
Подставив эти значения в (9), получим
d= =
. (10)
Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой 3 x- 2 y -9 = 0.
Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10):
d= =
=
. ■
2[кроме ФЭУ]. Кривые второго порядка.
Уравнение вида
Ax 2+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, (11)
если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка. Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.
2.1. Окружность.
Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М 0(x 0, y 0). Найдем ее уравнение. Для любой точки М (x, y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ 0 =R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R= (рис. 5).
Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид:
|
|
|
М 0(0,-3).
Рис. 5
Решение. В данном случае x 0 = 0, y 0 = -3,
R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид . ■
Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x 2+ y 2+6 x- 2 y+ 5=0.
Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x 2+6 x+ 9)+(y 2-2 y+ 1)+5-9-1=0. Отсюда . Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса R=
с центром в точке (-3,1). ■
2.2. Эллипс.
Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.
Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2 с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид
. (13)
Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF 1+ MF 2 = 2 a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F 1 и F 2 находятся на расстоянии с = от центра эллипса О (при этом предполагается, что a > b). Отношение
= e называется эксцентриситетом эллипса (e < 1).
|
|
|
|
MF 1 = a + e x, MF 2 = a- e x. (14)
|
частный случай эллипса. При этом Рис. 6
эксцентриситет окружности e = 0.
Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М 1(4,- ) и М 2(2
,3), а также найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.
Решение. Подставляя координаты точек М 1 и М 2 в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:
,
.
Решая эту систему находим полуоси a= и b =
. Искомое уравнение эллипса
. Находим, далее, с =
и расстояние между фокусами 2 с =2
. Эксцентриситет эллипса e =
=
=
=0,5. ■
Пример 12. Убедившись, что точка М (-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М.
Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса , получаем верное равенство, доказывающее, что М - точка эллипса. Фокальные радиусы точки М находим по формулам (14), полагая a= 5, b =4, с =
=
=3, e =
=
:
MF 1 = a + ex = 5+ ×(-4) = 2,6; MF 2 = a-ex = 5-
×(-4) = 7,4. ■
2.3. Гипербола.
Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.
В системе координат, изображенной на рис. 7, уравнение гиперболы имеет простейший вид
, (15)
называемый каноническим уравнением гиперболы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямые y = x и y = -
x называются асимптотами гиперболы; при неограниченном продвижении точки М (x, y) вдоль гиперболы в бесконечность расстояние от М до соответствующей асимптоты стремится к нулю.
Расстояния от любой точки М (x, y) гиперболы до ее фокусов F 1 и F 2 - фокальные радиусы точки М - определяются по формулам:
MF 1 = |e x + a|, MF 2 = |e x - a|. (16)
Две гиперболы, заданные уравнениями
,
в одной и той же системе координат, называются сопряженными.
Пример 13. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки М 1(6,-1) и М 2(-8,2 ), и найти ее асимптоты.
Решение. Подставляя координаты точек М 1 и М 2 в уравнение (15), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полуосей гиперболы a и b:
,
.
Из этой системы находим а 2 = 32, b 2 =8. Таким образом, действительная полуось гиперболы a= , а мнимая полуось b =
. Искомое уравнение гиперболы
. Асимптоты определяются по формуле y =
x =
x =
. ■
Пример 14. Найти координаты фокусов гиперболы , а также расстояния от точки М (-5,
) до фокусов гиперболы.
Решение. Имеем с = =
, так что расстояние между фокусами равно 2 с = 10, а координаты фокусов F 1(-5,0) и F 2(5,0).
Точка М (-5, ) принадлежит гиперболе (в чём легко убедиться подстановкой её координат в уравнение гиперболы), поэтому искомые расстояния до фокусов вычисляем по формулам (16), полагая в них a = 4, эксцентриситет e =
: MF 1 =|
×(-5) + 4| =
; MF 2 =|
×(-5) - 4| =
. ■
Замечание. Если в уравнении (15) a = b, то гиперболу в этом случае называют равнобочной; ее уравнение имеет вид x 2 - y 2 = а 2; асимптоты y = x и y = - x взаимно перпендикулярны; эксцентриситет равен . Если взять асимптоты равнобочной гиперболы в качестве новых осей координат, то в такой системе координат
гипербола представляет собой график обратной пропорциональной зависимости с уравнением
, где k=
.
2.4. Парабола.
Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.
Расстояние FС = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.
Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой, так что FО=ОС = (рис. 8).
![]() | ![]() | ||||
![]() | |||||
|
|
|
|
![]() | |||
![]() | |||
|
|
|
|
|
А) Рис. 8 б)
В этой системе координат парабола будет определяться уравнением
y 2 = 2 px. (17)
Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы (оно получается из равенства FМ=МК). В этой же системе координат фокус данной параболы F (,0), а директриса имеет уравнение x =
. Фокальный радиус произвольной точки М (x, y) параболы (то есть длина отрезка FМ) может быть вычислен по формуле MF = x +
.
Уравнение x2 = 2py или же y = аx2 (где а= ), так же как и уравнение (17) представляет параболу, только в этом случае ось параболы совпадает с осью ординат и парабола расположена так, как показано на рис. 8(б). Её фокус F(0,
), а директриса имеет уравнение y=
. Если в уравнении y=аx2 коэффициент а отрицателен, то ветви параболы направлены вниз.
Пример 15. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат, точку М (1,-2) и симметричной относительно оси абсцисс; написать уравнение директрисы; найти фокальный радиус точки М.
Решение. Подставив координаты точки М (x = 1, y = -2) в уравнение y 2 = 2 px, получим 4=2 p× 1, р =2, так что уравнение параболы y 2 = 4 x. Уравнение директрисы x = -1. Фокальный радиус MF =1+ 1 =2. ■
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 626 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!