Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции в точке x = 0 существует и равен 1, то есть: .

Доказательство:

1) Пусть x > 0 (x )

(1)

; ;

(x – в радианах)

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,

Так как все части двойного неравенства положительные, можно переписать так:

Т.к. то по теореме 5: .

2) Пусть x <0 (x )

(по доказанному в первом случае)

Следовательно, .

Теорема доказана.