Теоремы о конечных пределах

Теорема 1. Функция f (x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f (x)=А+ a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f (x) и g (x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f (x)= А + a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x ₀.

Пусть, , тогда по теореме 1 g (x)= B + β (x), где β (x) – бесконечно малая функция в точке x ₀. Рассмотрим сумму этих функций: f (x) + g (x) = = A + a(x) + B + β (x) = (A+B) + a(x) + β (x), обозначим γ (x) = a(x) + β (x) -

бесконечно малая функция в точке x ₀ ( по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f (x)+ g (x)= A+B +γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f (x) и g (x) в точке , то существуетпредел произведения этих функций в точке , равный произведению пределов этих функций.

Доказательство: Пусть = А, тогда по теореме 1: f (x)= А + a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g (x) = B + β (x), где β (x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f (x) × g (x) = (А + a(x))(B + β (x)) = AB + B × a(x) + A×β (x) + a(x) × β (x).

Обозначим: B × a(x) + Aβ (x) + a(x)β (x) = γ (x) – бесконечно малая функция в точке ( посвойствам бесконечно малых функций). Получим: f (x)× g (x) = A×B + γ (x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f (x) и g (x), причем , то существует предел частного этих функций в точке , равный частному пределов этих функций.

То есть: если существует = А и существует , B ≠0, то существует .

(Доказать самостоятельно)

3 вопрос: