Гипергеометрический закон распределения

Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами и ( — натуральные числа), если она принимает конечное множество натуральных значений соответственно с вероятностями

причём,

Гипергеометрическое распределение возникает в экспериментах по выбору без возвращения особей из вольера, содержащей особей, из которых белой и чёрной окраски. Таким образом, это распределение описывает осуществление признака в выборке без возврата (в отличии от биномиального распределения). На практике к гипергеометрическому распределению приводят задачи, где изделия из партии отбирают случайно (обеспечивая для каждого изделия равную возможность быть отобранным), но отобранные изделия не возвращают в партию. Такой отбор особенно важен в тех задачах, где проверка изделия связана с его разрушением (например, проверка изделия на срок службы).

Пример.

Классическим применением гипергеометрического распределения является выборка без возвращения. Рассмотрим клетку с мышами двух расцветок: серые и коричневые. Определим вытягивание мыши серой окраски как успех, а коричневой как неудачу. Если N является числом всех мышей в клетке и D является числом серых мышей, то N − D является числом коричневых мышей.

Теперь предположим, что в клетке находятся 5 серых и 45 коричневых мышей. Стоя рядом с клеткой, вы закрываете глаза и вытаскиваете 10 мышей. Какова вероятность p (k=4) вытянуть 4 серых мыши (и, соответственно, 6 коричневых мышей)?

Задача описывается следующей таблицей:

	вытянутые	невытянутые	всего
серые мыши	4(k)	1=5-1 (D-k)	5(D)
коричневые мыши	6=10-4 (n-k)	39=50+4-10-5 (N+k-n-D)	45(N-D)
всего		40(N-n)	50(N)

Вероятность Pr (k = x) того, что будут вытянуты ровно x серых мышей (= количество успехов), может быть посчитана с помощью формулы:

Отсюда, в нашем примере (x = 4), получим:

Таким образом, вероятность вытянуть ровно 4 серые мыши достаточно мала (примерно 0.004). Это значит, что при проведении эксперимента (вытаскивание 10 мышей из клетки с 50 мышами без возвращения) 1000 раз мы рассчитываем получить вышеупомянутый результат 4 раза.

Что касается вероятности вытянуть все 5 серых мышей, то интуитивно понятно, что она будет меньше, чем вероятность вытянуть 4 серых мыши. Посчитаем эту вероятность.

	вытянутые	невытянутые	всего
серые мыши	5(k)	0=5-5 (D-k)	5(D)
коричневые мыши	5=10-5 (n-k)	40=50+5-10-5 (N+k-n-D)	45(N-D)
всего		40(N-n)	50(N)

Таким образом, мы получаем вероятность:

Как и ожидалось, вероятность вытянуть 5 серых мышей меньше, чем вероятность вытянуть 4 серые мыши.

Заключение:

Начальный вопрос можно расширить следующим образом: Если вытягиваются 10 мышей из клетки (содержащей 5 серых и 45 коричневых мышей), какова вероятность вытянуть не менее 4 серых мышей? Для получения ответа на этот вопрос необходимо посчитать функцию распределения p(k>=4). Так как гипергеометрическое распределение является дискретным вероятностным распределением, функция распределения может быть легко посчитана как сумма соответствующих вероятностей.

В нашем примере достаточно сложить Pr (k = 4) и Pr (k = 5):

Pr (k ≥ 4) = 0.003964583 + 0.0001189375 = 0.004083520.