Эмпирическая функция распределения

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называется функция F *(x), задающая для каждого значения х относительную частоту события X < х. Следовательно, по определению F *(x) = m_x / n, где m_x – число выборочных значений величины X, меньших х, a n – объем выборки.

Выборочную функцию распределения можно задать таблично или графически. Построим выборочную функцию распределения по данным табл. 5.1.

Объем выборки по условию примера n – 30. Наименьшая варианта равна 60, значит, m_x = 0 при 60. Тогда F *(x) = 0/30 = 0 при 60. Если 65 < 70, то неравенство X < х выполняется для вариант х ₁ = 60 и х ₂ = 65, а эти варианты встречаются по 3 раза, поэтому m_x = 6 и F *(x) = 6/30 и т.д. Результат вычисления F *(x) для всего множества значений вариант дискретной случайной величины приведен в табл.5.4.

Таблица 5.4

x	F *(x) (для задачи 1.1)
60
60 < 65
65 < 70
70 < 75
75 < 100
100 < 120
x > 120

График этой функции приведен на рис. 5.1.

В данном примере функция F *(x) есть выборочная функция распределения дискретной случайной величины и построена она по дискретному вариационному ряду.

Рис. 5.1

Если случайная величина непрерывная и ее выборочные значения представлены в виде интервального вариационного ряда, то выборочную функцию распределения строят иначе. Рассмотрим для этого вариационный ряд из задачи 5.2 (см. табл. 5.3). Очевидно, что для функция F *(x) = 0, так как m_x = 0.

Используя результаты расчетов, представленные в табл. 5.3, подсчитаем на концах интервалов значения функции F *(x) в виде «нарастающей относительной частоты» (табл. 5.5).

Таблица 5.5

Индекс интервала i	F *(x)
	0,0381
	0,0381
	0,0571
	0,2381
	0,4197
	0,6667
	0,8667
	0,9620
	0,9810
	1,0000

Очевидно, что табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении такой функции ее доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой (рис. 5.2).

Рис. 5.2