Сглаживание исследуемых данных. Линейная регрессия

Методы сглаживания данных можно разделить на 2 группы:

- аналитические, при использовании которых заранее предполагается вид зависимости, описывающей тенденцию ряда, с последующей оценкой параметров модели сглаживания;

- алгоритмические, которые не предполагают априорных знаний сглаживающей кривой, ориентируясь лишь на алгоритм расчета сглаженных уровней ряда.

К классу алгоритмических методов выявления тенденций во временных рядах относятся разнообразные процедуры усреднения данных по ряду, т.е. построению их сглаженных усредненных значений. Наиболее широкое применение методы алгоритмического сглаживания находят либо в условиях, когда исследователь имеет дело с короткими рядами, либо в условиях высокой нестабильности, хаотичности исследуемой системы.

Методы простого и взвешенного скользящего среднего - идея этих методов заключается в том, что мы выбираем интервал сглаживания m и далее по заданному заранее алгоритму рассчитываем взвешенное усредненное значение показателя для интервала сглаживания.

Часто при исследовании временных рядов используют методы экспоненциального сглаживания. Они позволяют более обоснованно и сбалансировано учитывать в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Одна из основных особенностей этих методов заключается в том, для расчета сглаженного значения уровня t нам необходимо знать предыдущее сглаженное значение S_t-1 и фактическое значение временного ряда у_{t .} В практике моделирования динамических рядов используется множество разновидностей моделей Брауна, например линейное и квадратичное экспоненциальное сглаживание.

Модели алгоритмического сглаживания порядков выше нулевого и с наличием подстройки параметров модели часто именуют адаптивными моделями. Модели данного вида отражают текущие свойства ряда и способны непрерывно учитывать эволюцию изучаемого процесса, выражаемую посредством динамики временного ряда.

Обнаружение исследователем факта присутствия во временном ряду систематической составляющей делает насущной задачу оценки параметров модели тренда. Т.е., модели вида , где

- тренд, или систематическая составляющая (неслучайная функция времени) ряда.

- несистематическая случайная составляющая ряда с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Задачу оценивания параметров трендовых моделей на практике пытаются свести к задаче оценки линейной регрессии, так как другие методы достаточно громоздкие.

Линейный регрессионный анализ прогнозирует значение одной переменной на основании другой (или группы) с помощью прямой линии. Наклон этой линии, выражается в единицах измерения У на одну единицу X и характеризует крутизну подъема или спуска (если b отрицательное) линии. Сдвиг, a, равен значению, которое принимает У при X, равном 0. Уравнение прямой линии имеет следующий вид:

Y = Сдвиг + (Наклон)(Х) = а + bХ.

Линия наименьших квадратов характеризуется наименьшей из всех возможных линий суммой возведенных в квадрат ошибок прогнозирования по вертикали и используется как лучшая линия прогнозирования, основанная на данных. Наклон этой линии, b, называют также коэффициентом регрессии У по X, а сдвиг а (отрезок отсекаемый на оси У) называют также постоянным членом регрессии.