Из очевидного равенства

, (16)

продифференцировав по , получим:

. (18)

Тогда справедливо равенство:

, (19)

подставив которое в (18) имеем:

(20)

где .

Полученное равенство называется уравнением Пу, которое показывает эффект замены и масштаба при росте цены единицы фактора производства.

Проанализируем реакцию производителя на изменение цены выпуска в задаче (1). Решением этой задачи является вектор спроса и функции прибыли (3). Тогда, используя равенство для функций предложения

(21)

и условие (5)

(22)

продифференцировав их по получим:

(23)

или в матричном виде:

(24)

где:

, (25)

. (26)

Тогда систему (24) можно записать в следующем виде:

. (27)

Пусть теперь изменится цена го ресурса . Тогда продифференцируем (22) и (23) по :

(28)

где символ Кронекера.

Обозначив:

,

(29)

.

то систему (28) можно записать в виде:

. (30)

Если теперь объединить уравнения (27) и (30), получим реакцию производителя на одновременные изменения цены выпуска и цен ресурсов:

. (31)

Решим уравнение (31) относительно изменений выпуска и спроса на ресурсы :

. (32)

Пусть

но тогда из определения обратной матрицы имеем:

Перемножая блочные матрицы, стоящие слева, получим:

,

откуда следует, что:

,

а из последних двух равенств имеем:

и, следовательно, обратная матрица имеет вид:

.

Подставляя полученную матрицу в уравнение (32) и произведя вычисления найдем в явном виде зависимость изменений выпуска и спроса на ресурсы:

(33)

Первое из уравнений, показывает, как изменится выпуск при увеличении цены на продукцию фирмы. Поскольку матрица Гессе Н отрицательно определена, а следовательно и тоже, то

,

и можно сделать вывод, что

, (34)

что указывает на то, что с ростом цены выпуска сам выпуск растет (см. свойства ).

Заметим, что из (24) следует, что

, (35)

так как для неоклассических функций, то обязательно найдутся , такие что

,

т.е. увеличение цены выпуска приведет к увеличению спроса на некоторые ресурсы.

Если для некоторого ресурса , т.е. увеличение цены выпуска приводит к падению спроса на него, то такой ресурс называется малоценным. Из неравенства (35) следует, что не все ресурсы являются малоценными.

Из второго и третьего уравнений в (33) следует, что

,

или в координатном виде:

. (36)

Отсюда следует, что для малоценных ресурсов увеличение на них цены приводит к увеличению выпуска, а ценных продуктов увеличение на них цены приводит к снижению выпуска.

Подставляя (36) в (35) получим:

,

где учтем, что возрастание цены на некоторый вид ресурсов приведет к сокращению выпуска.

Из четвертого уравнения в (33):

,

учитывая, что отрицательно определена, следует, что отрицательно определенной является и матрица , и тогда, очевидно, что , т.е. повышение цены на некоторый ресурс приведет к снижению спроса на него.

Поскольку симметрична, то

, (37)

а это значит, что изменение спроса на ресурс при изменении цены на ресурс, равно изменению спроса на ресурс при таком же изменении цены на ресурс.

Затраты и ресурсов взаимозаменяемы (взаимодополняемы), если

.

Из (37) следует, что для взаимозаменяемых ресурсов увеличение цены на один из них приводит к падению спроса на другой, в то время как на взаимозаменяемые ресурсы увеличение цены одного ресурса приводит к одновременному снижению спроса на оба ресурса.

Задача отыскания экстремума функций одной переменной. Метод золотого сечения

Задача математического программирования формулируется следующим образом: найти значения переменных , доставляющие максимум или минимум целевой функции при условиях

Метод золотого сечения — метод 0го порядка решения задач оптимизации функции одного переменного на отрезке. Метод использует следующее свойство непрерывных функций: если точки g и h (g < h) расположены на (a, b) и f(g) ≤ f(h), то на отрезке [a, h] есть хотя бы один минимум функции. Аналогично, если f(g) ≥ f(h), то на отрезке [g, b] есть хотя бы один минимум.

Отрезок [A, B] делится по правилу «золотого сечения», причем отношение последующих интервалов постоянно

Название «золотое сечение» произошло от названия «золотого отношения» (), из которого видно, что делится на две части, так что отношения целого к большей части равно отношению большего к меньшей.

[A, B] – границы интервалов.

x₁,x_{2 –} точки, по которым делится интервал по правилу «золотого сечения», причём x₁<x₂.

Отрезок неопределённости [A,x₂], содержащий точку x₁, или отрезок неопределённости [x₁ B], содержащий точку x₂. Оказывается, что остающаяся точка на суженном отрезке неопределённости делит его вновь по правилу «золотого сечения». Следовательно, чтобы, в свою очередь, уменьшить новый отрезок неопределённости, нам не достаёт вычисления целевой функции в точке, симметричной к оставшейся точке относительно середины этого нового отрезкаКроме того, y₁ и y₂ имеют следующие значения: y₁ =f(x₁) и y₂ =f(x₂).

Схема алгоритма

Шаг1. Задаются a,b,ε и λ=1.618… Вычисляют .

Шаг2. а) Если , то полагают и вычисляют .

б) Если y₁>y₂, то полагают и вычисляют .

Шаг3. Если B-A>ε, то переходят к шагу 2. Иначе если y₁<y₂, то полагают и если y₁≥y₂, то полагают и

Закончить поиск.

После каждой итерации длина отрезка неопределённости уменьшается в раз. Так как первая итерация начинается после двух экспериментов, то после N экспериментов длина отрезка неопределённости будет .