Третий случай. Рассмотрим игру (mx2) с матрицей

Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из т стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится верхняя граница проигрыша, полу­чаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соот­ветствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2х2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1)-(3).

Нахождение бесконечного множества решений

Можно доказать, что множества оптимальных стратегий 1-го и 2-го игроков (Т₁ и Т₂) – непустые ограниченные выпуклые и замкнутые подмножества соответственно m -мерного и n -мерного пространств. Из выпуклости следует, что если Т₁ (Т₂) имеет более одного элемента, то оно имеет бесконечное число элементов, то есть матричная игра имеет либо только одно, либо бесконечное множество решений.

Чтобы найти множество всех решений игры с платежной матрицей А, нужно рассмотреть все квадратные подматрицы матрицы А. Найдя решения игр, заданных подматрицами, нужно составить их расширения на соответствующих местах и проверить, являются ли полученные стратегии оптимальными для игры Г_А. Множество всех решений каждого игрока является выпуклой линейной комбинацией найденных решений.

Решение игры, заданной квадратной подматрицей В, можно найти в матричном виде по формулам , , .

Найдем, например, множество всех решений игры Г_А с платежной матрицей .

Подматрицы не дадут решений, так как матрица А не имеет седловых точек. Рассмотрим подматрицы :

, , .

Для В: – является решением игры Г_А (убеждаемся в этом проверкой).

Для С: , , , , – является решением игры Г_А.

Для D получим такое же решение, как для В.

Таким образом, в игре Г_А 1-й игрок имеет единственную оптимальную стратегию , 2-й игрок имеет множество оптимальных стратегий , где , , цена игры v =1