Первый случай

Рассмотрим игру (2х2) с матрицей без седловой точки.

Решением игры являются смешанные страте­гии игроков и , где

х₁ - вероятность применения первым игроком первой стратегии,

х₂ - вероятность применения первым игроком второй стратегии,

у₁ - вероятность применения вторым игроком первой стратегии,

у₂ - вероятность применения вторым игроком второй стратегии.

Очевидно, что

Найдем решение игры графическим методом (рис.1).

Рис. 1.

На оси ОХ отложим отрезок, длина которого равна единице.

Левый конец (х = 0) соответствует стратегии первого игрока А₁, правый
(х = 1) - стратегии А₂.

Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям
первого игрока, где

Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В₁, то выиг­рыш при использовании первым игроком стратегий А₁ и А₂ соста­вит соответственно а₁₁ и а₂₁. Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В₁В₁. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежа­щая на этом отрезке.

Аналогично строится отрезок В₂В₂, соответствующий страте­гии В₂ игрока В.

Определение 20. Ломаная линия, составленная из частей от­резков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша, полу­чаемого игроком А.

Определение 21. Стратегии, части которых образуют ниж­нюю границу выигрыша, называются активными стратегиями.

В игре (2х2) обе стратегии являются активными.

Ломаная В₁КВ₂ является нижней границей выигрыша (рис. 2), получаемого игроком А. Точка К, в которой он максимален, опре­деляет цену игры и ее решение.

Рис. 2.

Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учиты­вая, что получим

(1)

(2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

(3)