Cвойства оптимальных стратегий

1. Пусть K (x, y) – математическое ожидание выигрыша в игре Г_А с ценой v. Тогда, для того чтобы элемент был оптимальной стратегией 1-го игрока, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента выполнялось неравенство . Аналогично, для того чтобы был оптимальной стратегией 2-го игрока, необходимо и достаточно, чтобы для каждого выполнялось неравенство .

2. Пусть K (x, y) – математическое ожидание выигрыша в игре Г_А, v – действительное число, , . Тогда, для того чтобы v было ценой игры, а x ^* и y ^* были оптимальными стратегиями соответственно 1-го и 2-го игроков, необходимо и достаточно, чтобы для любых и выполнялось неравенство .

3. Пусть K (x, y) – математическое ожидание выигрыша в игре Г_А с ценой v. Тогда, для того чтобы элемент был оптимальной стратегией 1-го игрока, необходимо и достаточно, чтобы для каждого выполнялось неравенство . Аналогично, для того чтобы был оптимальной стратегией 2-го игрока, необходимо и достаточно, чтобы для каждого выполнялось неравенство .

4. Если x ^*, y ^* – решение -игры Г_А, то .

5. Пусть , , v – решение игры Г_А. Тогда для любого , при котором , выполняется неравенство x_i =0, а для любого , при котором , выполняется неравенство y_j =0.

6 (Лемма о масштабе). Если Г_А – игра с матрицей , а – игра с матрицей , где , где α,b=const, α>0, то множества оптимальных стратегий игроков в играх Г_А и совпадают, а . Иначе говоря, две игры, отличающиеся лишь началом отсчета выигрышей и масштабом их измерения, стратегически эквивалентны.