II. Математическая статистика 5 страница

Рассмотрим интервал и разобьем его на частичных интервалов, длины которых равны . Координатами точек деления, очевидно, будут точки

.

Теперь каждый раз, когда нам надо будет «поставить опыт» и разыграть значение случайной величины , мы будем с помощью датчика случайных чисел выбирать значение и если эта точка попадает в -й частичный интервал, будем считать, что . Поскольку согласно определению геометрической вероятности равномерно распределенная на отрезке величина попадает в -й частичный интервал с вероятностью, равной его длине (т.е. ), то законность такого алгоритма очевидна.

2.8.4. Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью и, следовательно, не появляется с вероятностью . Введем в рассмотрение дискретную случайную величину с двумя возможными значениями (для определенности примем и соответствующими им вероятностями Условимся считать, что если в испытании величина приняла возможное значение , то событие А наступило; если же , то событие А не наступило, т.е. наступило противоположное событие .

Таким образом, разыгрывание противоположных событий А и сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины с законом распределения:

Далее действуем в соответствии с п.2.8.3: интервал разбиваем на два частичных интервала: и . Затем генерируется случайное число . Если это число попало в , то (наступило событие А); если попало в , то (появилось противоположное событие ).

2.8.5. Разыгрывание полной группы событий

По аналогии с предыдущими рассуждениями разыгрывание полной группы несовместных событий , вероятности которых известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины со следующим законом распределения

Тогда достаточно сказать, что если в испытании величина приняла значение , то наступило событие .

2.8.6. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратной функции

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину , т.е. получить последовательность ее значений , зная функцию распределения . Легко показать, что если – случайное число, равномерно распределенное в интервале , то значение является корнем уравнения

. (*)

Поскольку – дифференцируемая монотонно возрастающая функция, уравнение (*) имеет единственное решение

(**)

где – обратная функция к функции .

Замечание. Если обратная функция находится аналитически, проблема генерирования непрерывной случайной величины решается легко: надо подставить в (**) значение и вычислить соответствующее значение Если в явном виде не находится, уравнение (*) приходится решать численно.

Пример 1. Найти способ разыгрывания непрерывной случайной величины, равномерно распределенной на интервале .

Решение. Плотность распределения имеет вид:

а функция распределения задается выражением

Таким образом, для значений , удовлетворяющих неравенству , уравнение (*) принимает вид

и легко разрешается относительно :

По этой формуле и следует разыгрывать равномерно распределенную случайную величину.

Пример 2. Непрерывная случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону

.

Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений .

Решение. Уравнение (*) в данном случае имеет вид:

Решим его относительно :

Можно еще заметить, что если число равномерно распределено в интервале , то и число также равномерно распределено в этом интервале. Поэтому для нахождения можно пользоваться более простой формулой

2.8.7. Разыгрывание нормальной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина распределена равномерно в интервале , то ее математическое ожидание и дисперсия равны:

Составим сумму независимых, распределенных равномерно в интервале случайных величин :

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию. Воспользуемся тем, что при суммировании независимых случайных величин их математические ожидание и дисперсия также суммируются. Тогда

Отсюда с.к.о. суммы

Пронормируем сумму , для чего вычтем из нее математическое ожидание и разделим результат на :

В силу центральной теоремы при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами . При конечном распределение приближенно нормальное. На практике обычно выбирают При этом в качестве нормальной случайной величины используют выражение:

2.8.8. Пример применения метода Монте-Карло. Моделирование системы

массового обслуживания

Рассмотрим одну из самых простых систем массового обслуживания. Система эта состоит из линий (или каналов, пунктов обслуживания), каждый из которых «обслуживает потребителей». В систему поступают заявки, причем моменты их поступления случайные. Каждая заявка поступает на линию номер 1. Если в момент поступления -й заявки (назовем его ) эта линия свободна, то она приступает к обслуживанию заявки, что продолжается минут ( – время занятости линии). Если в момент линия номер 1 занята, то заявка мгновенно передается на линию номер 2. И так далее…

Наконец, если все линии в момент заняты, то система выдает отказ.

Требуется определить, сколько (в среднем) заявок обслужит система за время

и сколько отказов она даст?

Ясно, что задачи такого типа встречаются при исследовании организации работы любых предприятий, а не только предприятий бытового обслуживания. В некоторых очень частных случаях удается найти аналитические решения. Однако в сложных случаях метод Монте-Карло оказывается единственным методом расчета.

Первый вопрос, возникающий при рассмотрении такой системы: что представляет собой поток заявок? Этот вопрос решается опытом, путем достаточно длительного наблюдения за заявками. Накопленный в этой области опыт позволяет выделить некоторые достаточно часто встречающиеся случаи.

Простейшим потоком (или пуассоновским потоком) называется такой поток заявок, когда промежуток времени между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с функцией распределения (см. п. 1.6.4.3; см. также пример 2 из предыдущего пункта):

Математическое ожидание такой случайной величины

Параметр называется плотностью потока заявок.

Формула для разыгрывания пуассоновской случайной величины на -м шаге получена в уже упомянутом примере 2:

(!)

где – случайная величина, распределенная равномерно на интервале .

Теперь обсудим вопрос: какова схема расчета в данной задаче?

Каждой линии поставим в соответствие ячейку памяти (компьютера, программируемого калькулятора). В эту ячейку будем записывать момент времени, когда эта линия освобождается. Обозначим момент освобождения -й линии через . За начальный момент расчета выберем момент появления первой заявки . В этот момент все линии свободны, поэтому все . Время окончания расчета .

Первая заявка поступает на линию 1. Значит, в течение времени эта линия будет занята. Поэтому надо заменить на новое значение , прибавить единицу к счетчику выполненных заявок (в начале расчета этот счетчик должен быть обнулен) и перейти к рассмотрению второй заявки.

Предположим, что заявок уже рассмотрены. Тогда надо разыграть момент появления -й заявки. Для этого по формуле (!) разыгрываем очередное значение и полагаем

.

Свободна ли в этот момент первая линия? Надо проверить условие

(!!)

Если это условие выполнено, то к моменту линия уже освободилась и может обслужить эту заявку. Тогда мы должны заменить на , добавить единицу к счетчику выполненных заявок и перейти к следующей заявке.

Если условие (!!) не выполнено, то линия 1 в момент занята. Тогда проверяем, свободна ли линия 2:

(!!!)

Если условие (!!!) выполнено, то заменяем на , добавляем единицу к счетчику выполненных заявок и переходим к следующей заявке.

Если же условие (!!!) не выполнено, переходим к проверке условия занятости третьей линии

и т.д. Может оказаться, что при всех от до . Тогда все линии в момент заняты, надо добавить единицу в счетчик отказов и потом перейти к рассмотрению следующей заявки.

Каждый раз, вычислив , надо проверять еще условие окончания опыта

.

Когда это условие выполнено, опыт заканчивается. В счетчике выполненных заявок и в счетчике отказов будут находиться и .

Такой опыт повторяется раз (с использованием разных ) и результаты всех опытов усредняются:

где и – значения и , полученные в -м опыте.

На рис. 2 приведена блок-схема программы, осуществляющей такой расчет. В блоке «Ввод данных» выбираются начальные данные: число линий (каналов) системы , время занятости линии , плотность потока заявок , время работы системы , число повторений опыта , и т.д. Здесь же осуществляется обнуление счетчиков.

В случае необходимости можно в блоке «Конец опыта» получить значения и для отдельных испытаний; можно и сразу формировать усредненные за опытов результаты.

нет

да

нет

да

нет

да

нет

да

Ввод данных

Конец опыта

Добавляем 1 к счетчику выполненных заявок

Добавляем 1 к счетчику отказов

Подсчет результатов, выдача, конец задачи

Рис. 2

Основываясь на схеме рис. 2 и на описании ее работы, можно существенным образом изменить задачу и рассмотреть более сложные системы массового обслуживания. Например, величина может быть не постоянной, а случайной и различной для различных линий (что соответствует различному оборудованию или различной квалификации обслуживающего персонала). Схема расчета остается такой же, но значения придется каждый раз разыгрывать, и формула разыгрывания для каждой линии (группы линий) будет своя.

Можно рассматривать системы с ожиданием, в которых отказ выдается не сразу: заявка хранится в системе в течение некоторого времени (время пребывания заявки в системе), и если за это время какая-нибудь линия освободится, то она обслужит эту заявку.

Можно рассматривать системы, в которых очередную заявку принимает та линия, которая раньше всех освободилась. Можно учесть случайный выход из строя отдельных линий и случайное время ремонта каждой из них. Можно ввести изменение плотности заявок во времени. И многое, многое другое…

Надо, конечно, понимать: чтобы получить результаты, имеющие практическую ценность, надо выбрать хорошую математическую модель системы. Для этого приходится тщательно изучать потоки заявок, проводить хронометраж работы отдельных узлов и т.п.

Вообще надо знать вероятностные законы функционирования отдельных частей системы. Тогда метод Монте-Карло позволит вычислить вероятностные законы работы всей системы, как бы сложна она ни была.