Способ 2. Используем связь со слабой сходимостью

Сходимость по вероятности к постоянной равносильна слабой сходимости (свойство 20). Докажем, что слабо сходится к единице. Требуется доказать, что функция распределения сходится к для любого (почему кроме 1?).

При любом имеем: при . При любом имеем: при . При любом имеем: . И только при сходимости нет: , тогда как . Но сходимости в точке и не требуется — в этой точке предельная функция распределения терпит разрыв:

Таким образом, слабо сходится к единице, и, следовательно, сходится к ней же по вероятности.