Функції від випадкових величин. Функція розподілу мінімуму і максимуму

Теорема N. Функции распределения случайных величин и

равны соответственно

Доказательство. Найдём функцию распределения . Максимум из величин меньше тогда и только тогда, когда каждая из этих величин меньше . Поэтому событие равносильно пересечению независимых событий ,..., , имеющих одну и ту же вероятность :

Найдём функцию распределения . Минимум из величин не меньше тогда и только тогда, когда каждая из этих величин не меньше :

QED

Пример N. Пусть случайные величины независимы в совокупности и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Докажем, что последовательность случайных величин , , ,... сходится по вероятности к правому концу отрезка — к единице.

Можно произнести это утверждение так: «максимум из первых случайных величин с ростом сходится к единице по вероятности».

Есть как минимум два способа доказательства.