Способ 1. По определению

Зафиксируем произвольное число . Заметим, что , поскольку это максимум из случайных величин, принимающих значения на отрезке [0, 1] п.н. Поэтому

Для того, чтобы установить сходимость последней вероятности к нулю, можно её либо найти, либо оценить с помощью неравенства Маркова. Сделаем и то, и другое.

(А) Найдём эту вероятность.

Для равномерного распределения на отрезке [0, 1]

А если ещё заметить, что , то

Видно, что при .

(Б) Оценим вероятность сверху. Поскольку п.н. и , то по неравенству Маркова

Найдём плотность распределения и математическое ожидание :

Подставляя математическое ожидание в неравенство (28), получим