Диференціальне рівняння неперервності

Диференціальне рівняння нерозривності базується на зконі збереження маси (М.В.Ломоносов, 1742р.).

Для його доказу виділимо уявно в довільному потоці рідини чи газу прямокутний паралелепіпед з гранями, паралельнимикоординатним площинам з вершинами 1,2,3,4,5,6,7,8 і ребрами dx, dy, dz (рис. 3.4).

Розглянемо зміну маси в об'ємі паралелепіпеда в на­прямі осі Ох.

За час dІ крізь грань 1-2-3-4 протече маса рідини

dm₁ = p(u_xdt) dydz,

а через грань 5-6-7-8 витече маса

dm₂ = р(и_xdt) dydz+д(pu_x)/дx dxdydzdt.

Залишиться в паралелепіпеді маса

dт_х = dт₁-dm₂=-д(pu_x)/дx dxdydzdt.

Аналогічно отримаємо зміну маси при течії рідини па­ралельно осям Оу і 0z

dm_y=-д(pu_y)/дy dydxdzdt

dm_z=-д(pu_z)/дz dzdxdydt

Повна зміна маси дорівнює

dт=dт_х +dm_y+d т_г=-[д(pu_x)/дx+д(pu_y)/дy+д(pu_z)/dz] dxdydzdt (3.13)

За цей же час dt в паралелепіпеді початкова маса

т = pdxdydz. збільшилась до величини (т + dm)=pdxdydz +

+ дp/дt dtdxdydz, і зміна маси в часі

m-(m+dm)=-dm або dm=-дp/дt dtdxdydz. (3.14)

Оскільки мова йде про один і той же об'єм па лепіпеда 1-2-3-4-5-6-7-8, то при рівності лівих частин формул (3.13) і (3.14) повинні бути рівні і їх праві частини. В результаті бачимо, що

д p/ дt=-[д(pu_x)/дx+д(pu_y)/dy+д(pu_z)/dz], (3.15) або

дp/дt+[д(pu_x)/дx+д(pu_y)/dy+д(pu_z)/dz=0. (3.16)

Рівняння (3.16) називають основним диференціальним рівнянням нерозривності рідин.

Якщо рух установлений, то дp/дt=0, і рівняння (3.16) спрощується

д(pu_x)/дx+дu_y/дy+д(pu_z)/dz=0 (3.17)

Для нестисливих рідин p=const і рівняння (3.17) можна записати як суму часткових похідних проекцій швидкості на відповідні координатні осі

дu_x/dx+дu_y/дy+дu_z/дz=0 (3.18)

Якщо помножимо всі члени рівняння на дt, то отримаємо диференціальне рівняння лінійної деформації в проекціях диференціальне рівняння лінійної деформації в проекціях на відповідні осі (du_xdt=dl_x і т.д.)

дl_x/дx+дl_y/дy+дl_z/дz=0 (3.19)

Для одномірного руху формула (3.18) спрощується

дu_x/дx=0 (3.20)

і для нестисливої рідини

v₁S₁=v₂S₂=const. (3.21)