![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Диференціальне рівняння нерозривності базується на зконі збереження маси (М.В.Ломоносов, 1742р.).
Для його доказу виділимо уявно в довільному потоці рідини чи газу прямокутний паралелепіпед з гранями, паралельнимикоординатним площинам з вершинами 1,2,3,4,5,6,7,8 і ребрами dx, dy, dz (рис. 3.4).
Розглянемо зміну маси в об'ємі паралелепіпеда в напрямі осі Ох.
За час dІ крізь грань 1-2-3-4 протече маса рідини
dm1 = p(uxdt) dydz,
а через грань 5-6-7-8 витече маса
dm2 = р(иxdt) dydz+д(pux)/дx dxdydzdt.
Залишиться в паралелепіпеді маса
dтх = dт1-dm2=-д(pux)/дx dxdydzdt.
Аналогічно отримаємо зміну маси при течії рідини паралельно осям Оу і 0z
dmy=-д(puy)/дy dydxdzdt
dmz=-д(puz)/дz dzdxdydt
Повна зміна маси дорівнює
dт=dтх +dmy+d тг=-[д(pux)/дx+д(puy)/дy+д(puz)/dz] dxdydzdt (3.13)
За цей же час dt в паралелепіпеді початкова маса
т = pdxdydz. збільшилась до величини (т + dm)=pdxdydz +
+ дp/дt dtdxdydz, і зміна маси в часі
m-(m+dm)=-dm або dm=-дp/дt dtdxdydz. (3.14)
Оскільки мова йде про один і той же об'єм па лепіпеда 1-2-3-4-5-6-7-8, то при рівності лівих частин формул (3.13) і (3.14) повинні бути рівні і їх праві частини. В результаті бачимо, що
д p/ дt=-[д(pux)/дx+д(puy)/dy+д(puz)/dz], (3.15) або
дp/дt+[д(pux)/дx+д(puy)/dy+д(puz)/dz=0. (3.16)
Рівняння (3.16) називають основним диференціальним рівнянням нерозривності рідин.
Якщо рух установлений, то дp/дt=0, і рівняння (3.16) спрощується
д(pux)/дx+дuy/дy+д(puz)/dz=0 (3.17)
Для нестисливих рідин p=const і рівняння (3.17) можна записати як суму часткових похідних проекцій швидкості на відповідні координатні осі
дux/dx+дuy/дy+дuz/дz=0 (3.18)
Якщо помножимо всі члени рівняння на дt, то отримаємо диференціальне рівняння лінійної деформації в проекціях диференціальне рівняння лінійної деформації в проекціях на відповідні осі (duxdt=dlx і т.д.)
дlx/дx+дly/дy+дlz/дz=0 (3.19)
Для одномірного руху формула (3.18) спрощується
дux/дx=0 (3.20)
і для нестисливої рідини
v1S1=v2S2=const. (3.21)
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 326 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!