Розподіл швидкості і дотичних напружень в перерізі потоку при ламінарному режимі руху

Ламінарна течія є шарова течія без перемішування рідин. Теорія ламінарної течії рідини ґрунтується на законі тертя Ньютона.

Розглянемо усталену ламінарну течію рідини в прямій круглій циліндричній трубі з внутрішнім діаметром d=2r₀. Допустимо, що труба розміщено горизонтально. При цьому виключається вплив сили тяжіння. Достатньо далеко від входу в трубу, де потік повністю вже сформований(стабілізувався), виділимо відрізок довжиною і між перерізами і 2-2 (рис. 8.1).

Позначивши дотичне напруження на бічній поверхні циліндрі через τ, одержимо

Звідки

Із формули видно, що дотичні напруження в поперечному перерізі труби змінюються за лінійним законом в функції радіуса. Епюра дотичного напруження показана на рис. 8.1 зліва (ця епюра не залежить від режиму течії).

Виразимо дотичне напруження τ згідно з законом тертя Ньютона через динамічну в’язкість і поперечний градієнт швидкості, при цьому замінимо змінну у (відстань від стінки) поточним радіусом r.

Знак мінус вказує на те, що напрям відліку r (від осі до стінки) протилежний напряму збільшення швидкості (від стінки до центру).

Підставляючи значення τ в попереднє рівняння, держимо

Знайдемо звідси приріст швидкості

При додатному прирості радіуса одержимо відємний приріст (зменшення) швидкості, що відповідає профілю швидкостей, показано на рис 8.1.

Виконавши інтегрування, одержимо

Постійну інтегрування С знайдемоз умови, що на стінці при r=r₀ υ=0

Швидкість по колу радіусом r

Цей вираз є законом розподілу швидкостей по перерізу круглої труби при ламінарній течії. Крива, що зображує епюру швидкостей, є парабола другої степені.

Максимальна швидкість є в центрі перерізу(при r=0)

Середня швидкість при ламінарній течії в 2 рази менша ніж максимальна

υ=0.5υ_мах

Знаючи закон розподілу швидкостей по перерізу труби,можна визначити коефіцієнт Коріоліса α, який враховує нерівномірність розподілу швидкостей в рівнянні Бернуллі для випадку стабілізованої ламінарної течії рідини в круглій трубі.

Дійсна кінетична енергія ламінарного потоку з параболічним розподілом швидкостей в 2 рази перевищує кінетичну енергію цього ж потоку, але при рівномірному розподілі швидкостей.