Метод равных и наименьших относительных отклонений

В этом методе вместо многокритериальной задачи решается несколько однокритериальных задач по каждому из критериев в отдельности следующим образом.

1 Находится оптимальное решение по каждому из критериев по отдельности. Система ограничений для каждого из критериев одна и та же.

2 Находится относительное отклонение для каждого из критериев :

,

где – экстремальное решение задачи по k -му критерию;

– k -й критерий (целевая функция);

K – количество критериев.

3 На основе условия равенства относительных отклонений к системе ограничений задачи добавляется равенство следующего вида (в количестве K – 1):

.

В каждом последующем добавляемом ограничении слева от знака равенства всегда стоит относительное отклонение – для первого критерия, а справа от знака равенства – относительное отклонение – для последующего критерия, .

4 Поскольку относительные отклонения должны быть наименьшими, итоговая целевая функция будет иметь вид:

,

т. е., целевая функция представляет собой минимум относительного отклонения для какого-то одного критерия (любого, обычно последнего).

Замечания.

1 Чтобы минимизировать критерий , достаточно максимизировать функцию вида – , так как . Таким образом, если оба приравниваемые относительные отклонения определены по максимизируемым критериям, знаки модуля опускаются.

Например, два первых приравниваемых относительных отклонения определены по максимизируемым критериям:

.

Опустив знаки модуля и преобразовав это ограничение, можно получить ограничение вида

и далее

Если одно из приравниваемых относительных отклонений определено по максимизируемому критерию, а второе – по минимизируемому, то, опустив знаки модуля, перед вторым относительным отклонением необходимо поставить знак минус:

Опустив знаки модуля и преобразовав это ограничение, можно получить ограничение вида

; и далее

2 Решение может быть неэффективным, поэтому предварительно необходимо выделить область компромиссов.

Пример –Решить задачу

методом равных и наименьших отклонений.

Решение. При решении только по первому критерию задачи вида

с помощью надстройки Excel Поиск решения можно найти f ₁^*=160.

2 При решении только по второму критерию задачи вида

можно найти f ₂^*=1800.

3 Относительные отклонения для каждого критерия:

_.

4 Поскольку оба критерия максимизируются, знак модуля можно опустить. Приравнивая величины отклонений , можно получить дополнительное ограничение вида :

.

5 Итоговая целевая функция будет иметь вид:

.

При решении этой задачи в Excel с помощью надстройки Поиск решения в отдельную ячейку на том же листе Excel для вычисления итоговой целевой функции вводится формула для вычисления ρ.

6 Окончательно задача примет вид:

Врезультате решения Х ^* =(27,1; 32,9). Подставив этот вектор Х ^* в выражения для целевых функций, можно получить экстремумы целевых функций f ₁ (X^*) = 125,7; f₂ (X^*) = 1414.