Екстремум функції двох змінних

Функція в точці досягає максимуму (мінімуму), якщо її значення в цій точці є найбільшим (найменшим) у порівнянні з її значеннями в будь-яких точках, достатньо близьких до .

Функція може досягати максимуму (мінімуму) тільки в точках, які належать її області визначення D. Точки, в яких всі її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками.

Критична точка для функції двох змінних може бути точкою максимуму (мінімуму), якщо приріст функції в точці M, достатньо близької до , не змінює знак. Якщо зберігає невід’ємний знак, то точка є точка мінімуму, якщо зберігає від’ємний знак, то точка є точкою максимуму.

Якщо в області визначення D функції не існує таких точок , для яких або , то точка для є точкою глобального максимуму або мінімуму. У противному разі функція в точці досягає локального максимуму чи мінімуму.

Необхідною умовою існування локального екстремуму функції в точці є рівність нулю її часткових похідних в цій точці.

Отже визначення координат точки , в яких функція може досягати максимуму чи мінімуму, досягається з розв’язку системи двох рівнянь з двома невідомими, а саме

Достатні умови існування в точці максимуму чи мінімуму функції мають такий зміст

1. Якщо визначник, складений з похідних другого порядку в точці , є невд’ємним та друга похідна по змінній х або друга похідна по змінній у функції в цій точці також є невд’ємними, тобто якщо

та або ,

то функція в точці досягає мінімуму.

2. Якщо

та або ,

то функція в точці досягає максимуму.

3. Якщо

,

то функція в точці не має ні мінімуму, ні максимуму.

Задача 10.3. Визначити значення функції , яких вона досягає в точках її мінімуму та максимуму.

Розв’язання. Визначимо частинні похідні та критичні точки функції. Маємо

; ; ; ; ; .

Критичними точками функції є та .

Розглянемо достатні умови наявності мінімуму чи максимуму функції в точці .

Маємо

; ;

,

тоді

Отже в точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

Розглянемо достатні умови для точки . Маємо

та .

Отже в точці функція досягає мінімуму та