![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функція в точці
досягає максимуму (мінімуму), якщо її значення в цій точці є найбільшим (найменшим) у порівнянні з її значеннями в будь-яких точках, достатньо близьких до
.
Функція може досягати максимуму (мінімуму) тільки в точках, які належать її області визначення D. Точки, в яких всі її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками.
Критична точка для функції двох змінних
може бути точкою максимуму (мінімуму), якщо приріст функції
в точці M, достатньо близької до
, не змінює знак. Якщо
зберігає невід’ємний знак, то точка
є точка мінімуму, якщо
зберігає від’ємний знак, то точка
є точкою максимуму.
Якщо в області визначення D функції не існує таких точок
, для яких
або
, то точка
для
є точкою глобального максимуму або мінімуму. У противному разі функція
в точці
досягає локального максимуму чи мінімуму.
Необхідною умовою існування локального екстремуму функції в точці
є рівність нулю її часткових похідних в цій точці.
Отже визначення координат точки , в яких функція
може досягати максимуму чи мінімуму, досягається з розв’язку системи двох рівнянь з двома невідомими, а саме
Достатні умови існування в точці максимуму чи мінімуму функції
мають такий зміст
1. Якщо визначник, складений з похідних другого порядку в точці , є невд’ємним та друга похідна по змінній х або друга похідна по змінній у функції в цій точці також є невд’ємними, тобто якщо
та
або
,
то функція в точці
досягає мінімуму.
2. Якщо
та
або
,
то функція в точці
досягає максимуму.
3. Якщо
,
то функція в точці
не має ні мінімуму, ні максимуму.
Задача 10.3. Визначити значення функції , яких вона досягає в точках її мінімуму та максимуму.
Розв’язання. Визначимо частинні похідні та критичні точки функції. Маємо
;
;
;
;
;
.
Критичними точками функції є та
.
Розглянемо достатні умови наявності мінімуму чи максимуму функції в точці .
Маємо
;
;
,
тоді
Отже в точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму.
Розглянемо достатні умови для точки . Маємо
та
.
Отже в точці функція досягає мінімуму та
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 1047 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!