Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

(уравнение Клаузиуса) и следствия из него

Для вывода основного уравнения молекулярно - кинетической теории (МКТ) рассмотрим идеальный одноатомный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически и число взаимных столкновений между молекулами газа намного меньше, чем число ударов о стенки сосуда. Допустим, что столкновения молекул со стенками сосуда носят характер абсолютно упругого удара. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку D S (рис. 7.2) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m_iv_i –(– m_iv_i) = 2 m_iv_i, где m_i – масса i -й молекулы, v_i – ее скорость. За время D t площадки D S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме параллелепипеда с основанием D S и высотой v D t (см. рис.7.2). Число этих молекул N = nV = n D Sv D t (n = N/V – концентрация молекул, равная отношению числа молекул к объему занимаемого ими пространства).

Необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке D S под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина – в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку D S будет равно 1/6 n D Sv D t. При столкновении с площадкой эти молекулы одинаковой массы передадут ей импульс D P = 2 mv 1/6 n D Sv D t = 1/3 nm D Sv² D t.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда, ; согласно второму закону Ньютона , поэтому

. (7.4)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v ₁, v₂ ,...,v_N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

, (7.5)

характеризующую всю совокупность молекул газа.